Câu 4.56. trang 112 SBT Đại số 10 Nâng cao : Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm dù m lấy bất kì giá trị nào:...

Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm dù m lấy bất kì giá trị nào:

a.$\left( {2{m^2} + 1} \right){x^2} - 4mx + 2 = 0$

b. $\dfrac{1}{2}{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + {m^2} + m + 1 = 0$

c. ${x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + 2{m^2} - 7m + 10 = 0$

d. ${x^2} - \left( {\sqrt 3 m - 1} \right)x + {m^2} - \sqrt 3 m + 2 = 0$.

:

a. Ta có $\Delta ‘ = 4{m^2} - 2\left( {2{m^2} + 1} \right) =  - 2 < 0,$ nên phương trình vô nghiệm với mọi giá trị của m.

b. Ta có

$\Delta  = {\left( {m + 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} + m + 1} \right)$

$=  - {m^2} - 1 < 0,$ nên phương trình vô nghiệm với mọi giá trị của m.

c. Ta có

$\Delta ‘ = {\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {2{m^2} - 7m + 10} \right)$

$=  - {m^2} + m - 1.$

Xét tam thức $f\left( m \right) =  - {m^2} + m - 1,$ có $a = -1$ và $∆ = -3$ nên $f(m) < 0$ với mọi m.

Suy ra phương trình luôn vô nghiệm.

d. Ta có

$\Delta  = {\left( {\sqrt 3 m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - \sqrt 3 m + 2} \right)$

$=  - {m^2} + 2\sqrt 3 m - 7 =  - {\left( {m - \sqrt 3 } \right)^2} - 4 < 0$ nên phương trình vô nghiệm với mọi giá trị của m.