Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
a. x2+(m+1)x+m−13=0;
b. x2−2(m−1)x+m−3=0;
c. x2+(m+2)x+34m+12=0;
d. (m−1)x2+(3m−2)x+3−2m=0.
:
a. Ta có biệt thức Δ=(m+1)2−4(m−13)=m2−2m+73.
Xét tam thức f(m)=m2−2m+73, có a=1 và biệt thức \Delta ‘ = - \dfrac{4}{3} < 0 nên f(m) > 0 với mọi m. Vậy phương trình luôn có nghiệm.
Chú ý: Ta có thể xét
\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - \dfrac{1}{3}} \right)
= {\left( {m - 1} \right)^2} + \dfrac{4}{3} \ge \dfrac{4}{3}.
b. Ta có
Advertisements (Quảng cáo)
\Delta ‘ = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m - 3} \right)
= {\left( {m - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \ge \dfrac{7}{4} > 0, nên phương trình luôn luôn có nghiệm.
Chú ý : Ta có thể sử dụng định lí về dấu tam thức bậc hai để làm bài tập này, học sinh tự làm.
c. Ta có
\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {\dfrac{3}{4}m + \dfrac{1}{2}} \right)
= {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \ge \dfrac{7}{4} > 0, nên phương trình này luôn có nghiệm.
d. *) Nếu m = 1 phương trình có nghiệm x = -1.
*) Nếu m ≠ 1 ta có
\begin{array}{l}\Delta = {\left( {3m - 2} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right)\left( {3 - 2m} \right)\\ = 17{m^2} - 32m + 16\\ = {m^2} + 16{\left( {m - 1} \right)^2} > 0,\end{array}
Nên phương trình luôn có nghiệm.
Tóm lại với mọi giá trị của m thì phương trình luôn có nghiệm.