Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
a. \({x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m - \dfrac{1}{3} = 0;\)
b. \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0;\)
c. \({x^2} + \left( {m + 2} \right)x + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{1}{2} = 0;\)
d. \(\left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {3m - 2} \right)x + 3 - 2m = 0.\)
:
a. Ta có biệt thức \(\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - \dfrac{1}{3}} \right) = {m^2} - 2m + \dfrac{7}{3}.\)
Xét tam thức \(f\left( m \right) = {m^2} - 2m + \dfrac{7}{3},\) có \(a = 1\) và biệt thức \(\Delta ‘ = - \dfrac{4}{3} < 0\) nên \(f(m) > 0\) với mọi m. Vậy phương trình luôn có nghiệm.
Chú ý: Ta có thể xét
\(\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - \dfrac{1}{3}} \right) \)
\(= {\left( {m - 1} \right)^2} + \dfrac{4}{3} \ge \dfrac{4}{3}.\)
b. Ta có
Advertisements (Quảng cáo)
\(\Delta ‘ = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m - 3} \right)\)
\(= {\left( {m - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \ge \dfrac{7}{4} > 0,\) nên phương trình luôn luôn có nghiệm.
Chú ý : Ta có thể sử dụng định lí về dấu tam thức bậc hai để làm bài tập này, học sinh tự làm.
c. Ta có
\(\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {\dfrac{3}{4}m + \dfrac{1}{2}} \right)\)
\(= {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \ge \dfrac{7}{4} > 0,\) nên phương trình này luôn có nghiệm.
d. *) Nếu \(m = 1\) phương trình có nghiệm \(x = -1.\)
*) Nếu \(m ≠ 1\) ta có
\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {3m - 2} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right)\left( {3 - 2m} \right)\\ = 17{m^2} - 32m + 16\\ = {m^2} + 16{\left( {m - 1} \right)^2} > 0,\end{array}\)
Nên phương trình luôn có nghiệm.
Tóm lại với mọi giá trị của m thì phương trình luôn có nghiệm.