Câu 4.58 trang 112 SBT Đại số 10 Nâng cao: Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm:...

Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm:

a.$\left( {m - 4} \right){x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 2m - 1$

b.$\left( {m + 2} \right){x^2} + 5{ {x}} - 4$

c. $m{x^2} - 12{ {x}} - 5$

d. $- {x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x + 1 - {m^{2.}}$

:

a. *) Khi $m = 4$ dễ thấy biểu thức không luôn luôn âm với mọi $x$.

*) Khi $m ≠ 4$, để tam thức luôn âm vứoi mọi x, điều kiện cần và đủ là :

$\left\{ \matrix{m - 4 < 0 \hfill \cr \Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - 4} \right)\left( {2m - 1} \right) < 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\left( * \right)$

Ta có $\Delta  =  - 7{m^2} + 38m - 15,\Delta  < 0$ khi và chỉ khi $m < \dfrac{3}{7}$ hoặc $m > 5$. Kết hợp với (*), suy ra $m < \dfrac{3}{7}.$

b. *) Khi $m = -2$, biểu thức đã cho trở thành $5x – 4$. Biểu thức này không thể luôn luôn âm với mọi $x$. Vậy $m = -2$ không thỏa mãn.

*) Khi $m ≠ -2$ thì tam thức luôn âm khi và chỉ khi

$\left\{ \matrix{m + 2 < 0 \hfill \cr \Delta = 25 + 16\left( {m + 2} \right) < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < - {{57} \over {16}}.$

c. Biểu thức luôn âm khi và chỉ khi $m <  - \dfrac{{36}}{5}.$

d. Biểu thức luôn âm khi và chỉ khi $- \dfrac{5}{3} < m <  - 1.$