Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:
a.x2−4x+m−5
b.x2−(m+2)x+8m+1
c. x2+4x+(m−2)2
d. (3m+1)x2−(3m+1)x+m+4.
:
a. Ta có \Delta ‘ = 4 - \left( {m - 5} \right) = 9 - m và tam thức có a = 1 > 0. Tam thức luôn dương khi và chỉ khi \Delta ‘ = 9 - m < 0 \Leftrightarrow m > 9.
b. Tam thức đã cho có biệt thức
\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right)
= {m^2} - 28m= m\left( {m - 28} \right) và a = 1.
Tam thức luôn dương khi và chỉ khi:
Advertisements (Quảng cáo)
\Delta = m\left( {m - 28} \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 28.
c. Ta có \Delta ‘ = 4 - {\left( {m - 2} \right)^2} = - {m^2} + 4m và hệ số a = 1. Tam thức luôn dương khi và chỉ khi \Delta = - {m^2} + 4m < 0 \Leftrightarrow m > 4 hoặc m < 0.
d. *) Nếu 3m + 1 = 0 thì m = - \dfrac{1}{3}. Khi đó biểu thức luôn dương với mọi x.
*) Nếu m \ne - \dfrac{1}{3} thì tam thức đã cho có biệt thức
\begin{array}{l}\Delta = {\left( {3m + 1} \right)^2} - 4\left( {m + 4} \right)\left( {3m + 1} \right)\\ = \left( {3m + 1} \right)\left( { - m - 15} \right)\\ = - 3{m^2} - 46m - 15\\ = - \left( {3{m^2} + 46m + 15} \right).\end{array}
Tam thức luôn dương khi và chỉ khi
\eqalign{& \left\{ \matrix{a = 3m + 1 > 0 \hfill \cr \Delta < 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m > {{ - 1} \over 3} \hfill \cr \left( {3m + 1} \right)\left( {m + 15} \right) > 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\left( * \right) \cr}
\Leftrightarrow m > - {1 \over 3} hoặc m < - 15
Kết hợp với (*) suy ra m > - \dfrac{1}{3}. Tóm lại với m \ge - \dfrac{1}{3} thì biểu thức luôn dương với mọi x.