Advertisements (Quảng cáo)
Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:
a.\({x^2} – 4{ {x + }}m – 5\)
b.\({x^2} – \left( {m + 2} \right)x + 8\,m + 1\)
c. \({x^2} + 4{ {x}} + {\left( {m – 2} \right)^2}\)
d. \(\left( {3m + 1} \right){x^2} – \left( {3m + 1} \right)x + m + 4.\)
:
a. Ta có \(\Delta ‘ = 4 – \left( {m – 5} \right) = 9 – m\) và tam thức có \(a = 1 > 0\). Tam thức luôn dương khi và chỉ khi \(\Delta ‘ = 9 – m < 0 \Leftrightarrow m > 9.\)
b. Tam thức đã cho có biệt thức
\(\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} – 4\left( {8m + 1} \right) \)
\(= {m^2} – 28m= m\left( {m – 28} \right)\) và \(a = 1\).
Tam thức luôn dương khi và chỉ khi:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\Delta = m\left( {m – 28} \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 28.\)
c. Ta có \(\Delta ‘ = 4 – {\left( {m – 2} \right)^2} = – {m^2} + 4m\) và hệ số \(a = 1\). Tam thức luôn dương khi và chỉ khi \(\Delta = – {m^2} + 4m < 0 \Leftrightarrow m > 4\) hoặc \(m < 0\).
d. *) Nếu \(3m + 1 = 0\) thì \(m = – \dfrac{1}{3}.\) Khi đó biểu thức luôn dương với mọi \(x\).
*) Nếu \(m \ne – \dfrac{1}{3}\) thì tam thức đã cho có biệt thức
\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {3m + 1} \right)^2} – 4\left( {m + 4} \right)\left( {3m + 1} \right)\\ = \left( {3m + 1} \right)\left( { – m – 15} \right)\\ = – 3{m^2} – 46m – 15\\ = – \left( {3{m^2} + 46m + 15} \right).\end{array}\)
Tam thức luôn dương khi và chỉ khi
\(\eqalign{& \left\{ \matrix{a = 3m + 1 > 0 \hfill \cr \Delta < 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > {{ – 1} \over 3} \hfill \cr \left( {3m + 1} \right)\left( {m + 15} \right) > 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\left( * \right) \cr} \)
\(\Leftrightarrow m > – {1 \over 3}\) hoặc \(m < – 15\)
Kết hợp với (*) suy ra \(m > – \dfrac{1}{3}.\) Tóm lại với \(m \ge – \dfrac{1}{3}\) thì biểu thức luôn dương với mọi \(x\).