Tìm các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình :
a. {x2−3x−4≤0(m−1)x−2≥0 có nghiệm ;
b. {x2+10x+16≤0mx≥3m+1 vô nghiệm.
:
a. Phương trình x2−3x−4=0 có hai nghiệm x1=−1,x2=4, nên bất phương trình x2−3x−4≤0 có tập nghiệm là S1=[−1;4].
Xét bất phương trình
(m−1)x−2≥0⇔(m−1)x≥2. (1)
*) Nếu m – 1 = 0 thì bất phương trình trên vô nghiệm.
*) Nếu m – 1 > 0 ⇔ m > 1 thì bất phương trình (1) có tập nghiệm là
{S_2} = \left[ {\dfrac{2}{{m - 1}}; + \infty } \right).
Để hệ có nghiệm, điều kiện cần và đủ là {S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset tức là
\dfrac{2}{{m - 1}} \le 4 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \le m - 1 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{3}{2}, thỏa mãn điều kiện m > 1.
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy m \ge \dfrac{3}{2}.
*) Nếu m – 1 < 0 ⇔ m < 1 thì bất phương trình (1) có tập nghiệm là
{S_3} = \left( { - \infty ;\dfrac{2}{{m - 1}}} \right].
Để hệ có nghiệm, điều kiện cần và đủ là
{S_1} \cap {S_3} \ne \emptyset \Leftrightarrow \dfrac{2}{{m - 1}} \ge - 1
\Leftrightarrow - \left( {m - 1} \right) \ge 2 \Leftrightarrow m \le - 1.
Thỏa mãn điều kiện m < 1. Vậy m ≤ -1.
Tóm lại các giá trị của m để hệ có nghiệm là m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right).
b. Tập hợp các giá trị m thỏa mãn bài toán là :
\left( { - \dfrac{1}{{11}}; + \infty } \right).