Câu 4.68 trang 114 SBT Đại số 10 Nâng cao: Bài 7. Bất phương trình bậc hai...

Tìm các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng mọi giá trị x :

a. $\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3m - 3 \ge 0;$

b. $\left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 < 0;$

c. $\dfrac{{{{ {x}}^2} - 8{ {x}} + 20}}{{m{{ {x}}^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 9m + 4}} < 0;$

d. $\dfrac{{3{{ {x}}^2} - 5{ {x}} + 4}}{{\left( {m - 4} \right){x^2} + \left( {1 + m} \right)x + 2m - 1}} > 0.$

:

a. $m ≥ 1.$

b. Không tồn tại m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$.

c. Ta thấy tam thức ${x^2} - 8{ {x}} + { {20}}$ có $a = 1 > 0, ∆’ = 16 – 20 = -4 < 0.$

Suy ra ${x^2} - 8{ {x}} + 20 > 0$ với mọi $x$. Do đó bài toán trở thành tìm các giá trị m để bất phương trình $m{{ {x}}^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 9m + 4 < 0\left( * \right)$ đúng với mọi $x$.

Nếu $m = 0$ bất phương trình (*) trở thành $2x + 4 < 0$, bất phương trình chỉ nghiệm đúng với $x < -2$, nên $m = 0$ không thỏa mãn.

Nếu $m ≠ 0$. Để bất phương trình (*) đúng với mọi x thì điều kiện cần và đủ là :

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0}\\{\Delta ‘ = {{\left( {m + 1} \right)}^2} - m\left( {9m + 4} \right) < 0.}\end{array}} \right.$

Ta thấy tam thức $\Delta ‘ =  - 8{m^2} - 2m + 1$ có hai nghiệm là ${m_1} =  - \dfrac{1}{2},{m_2} = \dfrac{1}{4}$ nên $\,\Delta ‘ < 0 \Leftrightarrow m <  - \dfrac{1}{2}$ hoặc $m > \dfrac{1}{4}.$ Kết hợp với điều kiện m < 0, suy ra các giá trị cần tìm của m là $m <  - \dfrac{1}{2}.$

d. $m > 5.$