Câu 4.67 trang 113 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Tìm các giá trị của tham số m để mỗi phương trình sau có nghiệm :...

Tìm các giá trị của tham số m để mỗi phương trình sau có nghiệm :

a. $2{{ {x}}^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + 3 + 4m + {m^2} = 0;$

b. $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 3} \right)x - m + 2 = 0$

:

a. $- 2 - \sqrt 2  \le m \le  - 2 + \sqrt 2 .$

b. Nếu $m = 1$, phương trình có nghiệm $x = \dfrac{1}{8}$

Nếu $m ≠ 1$, để phương trình có nghiệm điều kiện cần và đủ là :

$\begin{array}{l}\Delta ‘ = {\left( {m + 3} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {2 - m} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 3m + 11 \ge 0.\end{array}$

Ta thấy tam thức $f\left( m \right) = 2{m^2} + 3m + 11$ có $a = 2 > 0$ và $∆ = -79 < 0$ nên $f(m) > 0$ với mọi $m$.

Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của $m$.