Cho phương trình :
(m−2)x4−2(m+1)x2+2m−1=0.
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình trên có :
a. Một nghiệm ;
b. Hai nghiệm phân biệt ;
c. Bốn nghiệm phân biệt.
:
a. + Với m=2, phương trình đã cho trở thành :
−6x2+3=0⇔x2=12⇔x=±1√2.
Phương trình có hai nghiệm, nên không thảo mãn yêu cầu đầu bài.
+ Với m ≠ 2, đặt t=x2≥0, ta được phương trình
f(t)=(m−2)t2−2(m+1)t+2m−1=0.(∗)
Để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thì phương trình (*) hoặc có nghiệm kép t=0 hoặc có một nghiệm âm, còn nghiệm thứ hai bằng 0.
Advertisements (Quảng cáo)
Xét t=0. Khi đó f(0)=2m−1=0⇔m=12. Thay m=12 vào (*) ta được :
f(t)=t(−32t−3)=0⇔[t=0t=−2.
Vậy m=12 là giá trị cần tìm (để phương trình đã cho có một nghiệm).
b. m=7+3√52,m∈(12;2]. Hướng dẫn. Rõ ràng với m=2 phương trình có hai nghiệm x=±1√2 .
Với m≠2.
Để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thì phương trình (*) hoặc có nghiệm kép dương hoặc có một nghiệm âm và một nghiệm dương.
- Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac<0 tức là (m−2)(2m−1)<0 hay 12<m<2
- Phương trình (*) có nghiệm kép dương khi và chỉ khi ∆′=0 và −b2a>0.
Δ‘=−m2+7m−1=0⇔m=7±3√52;−b2a=m+1m−2>0⇔m<−1hoacm>2.
Chỉ có m=7+3√52 thỏa mãn hai điều kiện trên.
c. 2<m<7+3√52.
Hướng dẫn. Tìm m để phương trình f(t)=0 có hai nghiệm dương phân biệt. Điều kiện cần và đủ là ∆′>0,S>0 và P>0.