Câu 4.97 trang 118 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Tùy theo giá trị của tham số m, hãy biện luận số nghiệm phương trình...

Tùy theo giá trị của tham số m, hãy biện luận số nghiệm phương trình

$\left( {m + 3} \right){x^4} - \left( {2m - 1} \right){x^2} - 3 = 0$

:

Đặt $t = {x^2}$ phương trình trở thành $f\left( t \right) = \left( {m + 3} \right){t^2} - \left( {2m - 1} \right)t - 3 = 0,t \ge 0.$

● Nếu m + 3 = 0, tức là m = -3 thì $f\left( t \right) = 7t - 3 = 0,$ từ đó $t = \dfrac{3}{7}.$ Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm $x =  \pm \sqrt {\dfrac{3}{7}} .$

● Nếu $m + 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ -3.$

Khi đó, $\Delta  = {\left( {2m - 1} \right)^2} + 12\left( {m + 3} \right) = 4{m^2} + 8m + 37 > 0$ với mọi m nên phương trình f(t) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt khác 0 (vì $c = -3 ≠ 0$).

+) Phương trình $f(t) = 0$ có hai nghiệm dương khi và chỉ khi :

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = \dfrac{{2m - 1}}{{m + 3}} > 0}\\{P = \dfrac{{ - 3}}{{m + 3}} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2m - 1 < 0}\\{m + 3 < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m <  - 3.$

Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

+) Phương trình $f(t) = 0$ có hai nghiệm âm khi và chỉ khi:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = \dfrac{{2m - 1}}{{m + 3}} < 0}\\{P = \dfrac{{ - 3}}{{m + 3}} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2m - 1 > 0}\\{m + 3 < 0}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > \dfrac{1}{2}}\\{m <  - 3}\end{array}} \right.$ (không tồn tại m).

+) Phương trình $f(t) = 0$ có một nghiệm âm và một nghiệm dương khi và chỉ khi

$ac = (-3)(m + 3) < 0 ⇔ m > -3.$

Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Tóm lại : Với $m ≥ -3$ phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Với $m < -3$ phương trình có bốn nghiệm phân biệt.