Câu 6.43 trang 204 SBT Toán Đại 10 Nâng cao:  ...

a) Tính $x = \cos \dfrac{{2\pi }}{5}$ bằng “phương pháp hình học” như sau:

Xét tam giác cân ABC với $\widehat B = \widehat C = \dfrac{{2\pi }}{5}$, kẻ đường phân giác BD của tam giác đó. Từ tính chất  $\dfrac{{BC}}{{BA}} = \dfrac{{DC}}{{DA}}$ (h. 6.7) hãy suy ra $4{x^2} + 2x - 1 = 0$.

b) Từ đó tính $\cos \dfrac{\pi }{5},\sin \dfrac{\pi }{5},\tan \dfrac{\pi }{5}$.

c) Tính sin, côsin, tang của ${18^0}$

d) Viết $6 = 36 - 30$, tính sin, côsin của ${6^0}$. Thử lại bằng má tính bỏ túi.

a) Dễ thấy $BC = BD = AD$, nên đặt $BC = a,AB = b$ thì $\cos \dfrac{{2\pi }}{5} = \dfrac{a}{{2b}}.$     (1)

Ta có $\dfrac{{DC}}{{DA}} = \dfrac{{BC}}{{BA}}$ suy ra $\dfrac{{b - a}}{a} = \dfrac{a}{b}$, tức là $\dfrac{{1 - \dfrac{a}{b}}}{{\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{a}{b}.$          (2)

Từ (1) và (2) ta có $\dfrac{{1 - 2\cos \dfrac{{2\pi }}{5}}}{{2\cos \dfrac{{2\pi }}{5}}} = 2\cos \dfrac{{2\pi }}{5}$ hay

$4{\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{5} + 2\cos \dfrac{{2\pi }}{5} - 1 = 0$, tức là $4{x^2} + 2x - 1 = 0$.          (3)

b) Giải phương trình (3), ta được $x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}$ hoặc $x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{4}$ .

Từ đó $\cos \dfrac{{2\pi }}{5} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4} < 0$ (loại) hoặc $\cos \dfrac{{2\pi }}{5} = \dfrac{{\sqrt 5  - 1}}{4}.$ Suy ra

$\begin{array}{l}\cos \dfrac{\pi }{5} = \sqrt {\dfrac{{1 + \cos \dfrac{{2\pi }}{5}}}{2}}  = \sqrt {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{8}}  = \dfrac{{\sqrt 5  + 1}}{4};\\sin\dfrac{\pi }{5} = \sqrt {\dfrac{{1 - \cos \dfrac{{2\pi }}{5}}}{2}}  = \sqrt {\dfrac{{10 - 2\sqrt 5 }}{4}} ;\\\tan \dfrac{\pi }{5} = \dfrac{{\sin \dfrac{\pi }{5}}}{{\cos \dfrac{\pi }{5}}} = \sqrt {5 - r\sqrt 5 .} \end{array}$

c)

$\begin{array}{l}\sin {18^0} = \sin \dfrac{\pi }{{10}} = \sin \left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{\pi }{5}} \right)\\ = \sqrt {\dfrac{{1 - \cos \dfrac{\pi }{5}}}{2}}  = \dfrac{1}{4}\sqrt {2\left( {3 - \sqrt 5 } \right)} .\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos {18^0} = \cos \dfrac{\pi }{{10}} = \cos \left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{\pi }{5}} \right)\\ = \sqrt {\dfrac{{1 + \cos \dfrac{\pi }{5}}}{2}}  = \dfrac{1}{4}\sqrt {2\left( {5 + \sqrt 5 } \right)} .\end{array}$

$\tan {18^0} = \dfrac{{\sin {{18}^0}}}{{\cos {{18}^0}}} = \sqrt {1 - \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}} .$

d)

$\begin{array}{l}\sin {6^0} = \sin \left( {{{36}^0} - {{30}^0}} \right) = \sin \left( {\dfrac{\pi }{5} - \dfrac{\pi }{6}} \right)\\ = \sin \dfrac{\pi }{5}\cos \dfrac{\pi }{6} - \cos \dfrac{\pi }{5}\sin \dfrac{\pi }{6}\\ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \dfrac{\pi }{5} - \dfrac{1}{2}\cos \dfrac{\pi }{5}\\ = \dfrac{1}{8}\left[ {\sqrt {6\left( {5 - \sqrt 5 } \right)}  - \left( {\sqrt 5  + 1} \right)} \right]\left( { \approx 0,1045} \right).\end{array}$

$\begin{array}{l}\cos {6^0} = \cos \left( {{{36}^0} - {{30}^0}} \right) = \cos \left( {\dfrac{\pi }{5} - \dfrac{\pi }{6}} \right)\\ = \cos \dfrac{\pi }{5}\cos \dfrac{\pi }{6} + \sin \dfrac{\pi }{5}\sin \dfrac{\pi }{6}\\ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \dfrac{\pi }{5} + \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{5}\\ = \dfrac{1}{8}\left[ {\sqrt 3 \left( {\sqrt 5  + 1} \right) + \sqrt {2\left( {5 - \sqrt 5 } \right)} } \right]\left( { \approx 0,9945} \right).\end{array}$