a) Chứng minh cos2π9cos4π9cos8π9=−18 bằng cách nhân cả hai vế với sin2π9.
b) Chứng minh rằngcos2π9+cos8π9=2cos5π9cosπ3=cos5π9,
Từ đó suy ra cos2π9+cos4π9+cos8π9=0 .
c) Từ b) suy ra rằng cos22π9+cos24π9+cos28π9=32.
d) Từ b và c) suy ra rằng:
cos2π9cos4π9+cos4π9cos8π9+cos8π9cos2π9=−34 .
e) Từ a), b) và d) suy ra rằng
(X−cos2π9)(X−cos4π9)(X−cos8π9)=X3−34X+18,
từ đó ta có (1−cos2π9)(1−cos4π9)(1−cos8π9)=38.
Suy ra
• sinπ9sin2π9sin4π9=√38.
• sin5π9sin7π9sin8π9=√38.
f) Từ e) suy ra rằng
sinπ9sin2π9sin3π9sin4π9sin5π9sin6π9sin7π9sin8π9=9256.
(Chú ý. Người ta chứng minh được rằng không thể dùng thước và compa để dựng đa giác đều chín cạnh nội tiếp trong một đường tròn cho trước.)
a) Ta có:
sin2π9cos2π9cos4π9cos8π9=12sin4π9cos4π9cos8π9=14sin8π9cos8π9=18sin16π9=18sin(2π−2π9)=−18sin2π9
Từ đó: cos2π9cos4π9cos8π9=−18.
b) Ta có
Advertisements (Quảng cáo)
cos2π9+cos8π9=2cos5π9cosπ3=cos5π9=cos(π−4π9)=−cos4π9
từ đó cos2π9+cos4π9+cos8π9=0.
c) Do
cos2π9=2cos2π9−1=2cos28π9−1,cos4π9=2cos22π9−1cos8π9=2cos24π9−1,
nên từ b) suy ra
cos22π9+cos24π9+cos28π9=32.
d) Với mọi số A, B, C ta có:
AB+BC+CA=12[(A+B+C)2−A2−B2−C2] nên
cos2π9cos4π9+cos4π9cos8π9+cos8π9cos2π9=12[(cos2π9+cos4π9+cos8π9)2−(cos22π9+cos24π9+cos28π9)]=−12.32=−34.
e) Ta có
(X−cos2π9)(X−cos4π9)(X−cos8π9)=X3−(cos2π9+cos4π9+cos8π9)X2+(cos2π9cos4π9+cos4π9cos8π9+cos8π9cos2π9)X−cos2π9cos4π9cos8π9=X3−34X+18.
Từ đó (1−cos2π9)(1−cos4π9)(1−cos8π9)=38, tức là
2sin2π9.2sin22π9.2sin24π9=38,
suy ra
sinπ9.sin2π9.sin4π9=√38
Đẳng thức này lại cho ta sin5π9sin7π9sin8π9=√38.
f) Từ e) ta suy ra:
sinπ9sin2π9sin3π9sin4π9sin5π9sin6π9sin7π9sin8π9=√38.√38sinπ3sin2π3=9256.