Trang chủ Lớp 10 SBT Toán 10 Nâng cao (sách cũ) Câu 6.65 trang 207 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Từ...

Câu 6.65 trang 207 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Từ b và c) suy ra rằng:...

Câu 6.65 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng cao. \(2{\sin ^2}\dfrac{\pi }{9}.2{\sin ^2}\dfrac{{2\pi }}{9}.2{\sin ^2}\dfrac{{4\pi }}{9} = \dfrac{3}{8}\), Bài tập Ôn tập chương VI – Góc lượng giác và công thức lượng giác

a) Chứng minh \(\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9} =  - \dfrac{1}{8}\) bằng cách nhân cả hai vế với \(\sin \dfrac{{2\pi }}{9}.\)

b) Chứng minh rằng\(\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 2\cos \dfrac{{5\pi }}{9}\cos \dfrac{\pi }{3} = \cos \dfrac{{5\pi }}{9},\) 

Từ đó suy ra \(\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 0\) .

c) Từ b) suy ra rằng \({\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {\cos ^2}\dfrac{{4\pi }}{9} + {\cos ^2}\dfrac{{8\pi }}{9} = \dfrac{3}{2}\).

d) Từ b và c) suy ra rằng:

\(\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9}\cos \dfrac{{2\pi }}{9} =  - \dfrac{3}{4}\) .

e) Từ a), b) và d) suy ra rằng

\(\left( {X - \cos \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)\left( {X - \cos \dfrac{{4\pi }}{9}} \right)\left( {X - \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right) = {X^3} - \dfrac{3}{4}X + \dfrac{1}{8},\)

từ đó ta có \(\left( {1 - \cos \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)\left( {1 - \cos \dfrac{{4\pi }}{9}} \right)\left( {1 - \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right) = \dfrac{3}{8}.\)

Suy ra

• \(\sin \dfrac{\pi }{9}\sin \dfrac{{2\pi }}{9}\sin \dfrac{{4\pi }}{9} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}.\)

• \(\sin \dfrac{{5\pi }}{9}\sin \dfrac{{7\pi }}{9}\sin \dfrac{{8\pi }}{9} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}.\)

f) Từ e) suy ra rằng

\(\sin \dfrac{\pi }{9}\sin \dfrac{{2\pi }}{9}\sin \dfrac{{3\pi }}{9}\sin \dfrac{{4\pi }}{9}\sin \dfrac{{5\pi }}{9}\sin \dfrac{{6\pi }}{9}\sin \dfrac{{7\pi }}{9}\sin \dfrac{{8\pi }}{9} = \dfrac{9}{{256}}.\)

(Chú ý. Người ta chứng minh được rằng không thể dùng thước và compa để dựng đa giác đều chín cạnh nội tiếp trong một đường tròn cho trước.)

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\sin \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9}\\ = \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9}\\ = \dfrac{1}{4}\sin \dfrac{{8\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9}\\ = \dfrac{1}{8}\sin \dfrac{{16\pi }}{9}\\ = \dfrac{1}{8}\sin \left( {2\pi  - \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)\\ =  - \dfrac{1}{8}\sin \dfrac{{2\pi }}{9}\end{array}\)

Từ đó: \(\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9} =  - \dfrac{1}{8}.\)

b) Ta có

Advertisements (Quảng cáo)

\(\begin{array}{l}\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 2\cos \dfrac{{5\pi }}{9}\cos \dfrac{\pi }{3}\\ = \cos \dfrac{{5\pi }}{9} = \cos \left( {\pi  - \dfrac{{4\pi }}{9}} \right)\\ =  - \cos \dfrac{{4\pi }}{9}\end{array}\)

từ đó \(\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 0.\)

c) Do

 \(\begin{array}{l}\cos \dfrac{{2\pi }}{9} = 2{\cos ^2}\dfrac{\pi }{9} - 1 = 2{\cos ^2}\dfrac{{8\pi }}{9} - 1,\\cos\dfrac{{4\pi }}{9} = 2{\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} - 1\\\cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 2{\cos ^2}\dfrac{{4\pi }}{9} - 1,\end{array}\)

nên từ b) suy ra

\({\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {\cos ^2}\dfrac{{4\pi }}{9} + {\cos ^2}\dfrac{{8\pi }}{9} = \dfrac{3}{2}.\)

d) Với mọi số A, B, C ta có:

\(AB + BC + CA = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {A + B + C} \right)}^2} - {A^2} - {B^2} - {C^2}} \right]\) nên

\(\begin{array}{l}\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9}\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right)}^2} - \left( {{{\cos }^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {{\cos }^2}\dfrac{{4\pi }}{9} + {{\cos }^2}\dfrac{{8\pi }}{9}} \right)} \right]\\ =  - \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2} =  - \dfrac{3}{4}.\end{array}\)

e) Ta có

\(\begin{array}{l}\left( {X - \cos \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)\left( {X - \cos \dfrac{{4\pi }}{9}} \right)\left( {X - \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right)\\ = {X^3} - \left( {\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right){X^2}\\ + \left( {\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9}\cos \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)X\\ - \cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9}\\ = {X^3} - \dfrac{3}{4}X + \dfrac{1}{8}.\end{array}\)

Từ đó \(\left( {1 - \cos \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)\left( {1 - \cos \dfrac{{4\pi }}{9}} \right)\left( {1 - \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right) = \dfrac{3}{8}\), tức là

\(2{\sin ^2}\dfrac{\pi }{9}.2{\sin ^2}\dfrac{{2\pi }}{9}.2{\sin ^2}\dfrac{{4\pi }}{9} = \dfrac{3}{8}\),

suy ra

\(\sin \dfrac{\pi }{9}.\sin \dfrac{{2\pi }}{9}.\sin \dfrac{{4\pi }}{9} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}\)

Đẳng thức này lại cho ta \(\sin \dfrac{{5\pi }}{9}\sin \dfrac{{7\pi }}{9}\sin \dfrac{{8\pi }}{9} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}.\)

f) Từ e) ta suy ra:

\(\begin{array}{l}\sin \dfrac{\pi }{9}\sin \dfrac{{2\pi }}{9}\sin \dfrac{{3\pi }}{9}\sin \dfrac{{4\pi }}{9}\sin \dfrac{{5\pi }}{9}\sin \dfrac{{6\pi }}{9}\sin \dfrac{{7\pi }}{9}\sin \dfrac{{8\pi }}{9}\\ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{8}\sin \dfrac{\pi }{3}\sin \dfrac{{2\pi }}{3} = \dfrac{9}{{256}}.\end{array}\)

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn SBT Toán 10 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây: