Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là một điểm bất kì trên đường chéo AC. Qua O kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt AB và DC lần lượt tại M và N, cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OD} \)
b) \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {FN} \)
Gợi ý làm bài
(Xem h.1.44)
a) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \)
\(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} \)
Vì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) nên ta có \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} \)
b) Tứ giác AMOE là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {ME} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MO} (1)\)
Tứ giác OFCN là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {FN} = \overrightarrow {FO} + \overrightarrow {FC} (2)\)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {FO} + \overrightarrow {FC}\)
\( = (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {FO} ) + (\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {FC} ) = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} \)
(Vì \(\overrightarrow {FO} = \overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {MO} = \overrightarrow {BF} \))
Vậy \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {FN} \)