Bài 1.33 trang 34 SBT Toán Hình học 10: Cho tứ giác ABCD....

Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N , P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

Gợi ý làm bài

(h.1.53) 

Gọi G là trọng tâm của tam giác ANP.

Khi đó $\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GP}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có:

$\overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GQ}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {PQ}$

$= (\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GP} ) + \overrightarrow {AC}  + (\overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {PQ} )$

$\overrightarrow { = AC}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow 0$

(Vì $\overrightarrow {NM}  = {1 \over 2}\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {PQ}  = {1 \over 2}\overrightarrow {CA}$ nên $\overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {CA}$)

Vậy $\overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GQ}  = \overrightarrow 0$

Suy ra G là trọng tâm của tam giác CMQ.