Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O.
a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.
b) Chứng minh: →HA+→HD=2→HO;
→HA+→HB+→HC=2→HO;
→OA+→OB+→OC=→OH.
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Chứng minh →OH=3→OG
Từ đó có kết luận gì về ba điểm O, H, G?
Gợi ý làm bài
(Xem h.1.55)
a) Vì AD là đường kính của đường tròn tâm O nên BD⊥AB,DC⊥AC
Ta có CH⊥AB,BH⊥AC nên suy ra CH // BD và BH // DC.
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy tứ giác HCDB là hình bình hành.
b) Vì O là trung điểm của AD nên →HA+→HD=2→HO(1)
Vì tứ giác HCDB là hình bình hành nên ta có →HB+→HC=→HD.
Vậy từ (1) suy ra:
→HA+→HB+→HC=2→HO(2)
Theo quy tắc ba điểm, từ (2) suy ra
→HO+→OA+→HO+→OB+→HO+→OC=2→HO
Vậy →OA+→OB+→OC=→OH(3)
c) G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có →OA+→OB+→OC=3→OG
Từ (3) suy ra →OH=3→OG
Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.
Trong một tam giác trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng.