Bài 18 trang 193 bài tập SBT môn Toán Đại số 10: Không dùng bảng số và máy tính, chứng minh...

Không dùng bảng số và máy tính, chứng minh rằng

a) $\sin {20^0} + 2\sin {40^0} - \sin {100^0} = \sin {40^0}$

b) ${{\sin ({{45}^0} + \alpha ) - c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )} \over {\sin ({{45}^0} + \alpha ) + c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )}} = \tan \alpha$

c) ${{3{{\cot }^2}{{15}^0} - 1} \over {3 - c{\rm{o}}{{\rm{t}}^2}{{15}^0}}} =  - \cot {15^0}$

d) $\sin {200^0}\sin {310^0} + c{\rm{os34}}{{\rm{0}}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}{\rm{ = }}{{\sqrt 3 } \over 2}$

Gợi ý làm bài

a) 

$\eqalign{ & \sin {20^0} + 2\sin {40^0} - \sin {100^0} \cr & = (\sin {20^0} - \sin {100^0}) + 2\sin {40^0} \cr}$

=$2\cos {60^0}\sin ( - {40^0}) + 2\sin {40^0}$

=$- \sin {40^0} + 2\sin {40^0} = \sin {40^0}$

b) 

$\eqalign{ & {{\sin ({{45}^0} + \alpha ) - c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )} \over {\sin ({{45}^0} + \alpha ) + c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )}} \cr & = {{\sin ({{45}^0} + \alpha ) - \sin {\rm{(}}{{45}^0} - \alpha )} \over {\sin ({{45}^0} + \alpha ) + \sin {\rm{(}}{{45}^0} - \alpha )}} \cr}$

=${{2\cos {{45}^0}\sin \alpha } \over {2\sin {{45}^0}\cos \alpha }} = {{\sqrt 2 \sin \alpha } \over {\sqrt 2 \cos \alpha }} = \tan \alpha$

c) 

${{3{{\cot }^2}{{15}^0} - 1} \over {3 - c{\rm{o}}{{\rm{t}}^2}{{15}^0}}} = {{{{\cot }^2}{{30}^0}{{\cot }^2}{{15}^0} - 1} \over {c{\rm{o}}{{\rm{t}}^2}{{30}^0} - {{\cot }^2}{{15}^0}}}$

=${{\cot {{30}^0}\cot {{15}^0} + 1} \over {c{\rm{ot}}{{30}^0} - \cot {{15}^0}}}.{{\cot {{30}^0}\cot {{15}^0} - 1} \over {c{\rm{ot}}{{30}^0} + \cot {{15}^0}}}$

Mặt khác ta có

$\cot (\alpha  + \beta ) = {{\cos (\alpha  + \beta )} \over {\sin (\alpha  + \beta )}} = {{\cos \alpha \cos \beta  - \sin \alpha \sin \beta } \over {\sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta }}$

Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho $\sin \alpha \sin \beta$ ta được

$\cot (\alpha  + \beta ) = {{\cot \alpha \cot \beta  - 1} \over {\cot \alpha  + \cot \beta }}$

Tương tự

$\cot (\alpha  - \beta ) = {{\cot \alpha \cot \beta  + 1} \over {\cot \beta  - \cot \alpha }}$

Do đó

$A = \cot ({15^0} - {30^0})\cot ({15^0} + {30^0}) =  - \cot {15^0}$

d) 

$\sin {200^0}\sin {310^0} + c{\rm{os34}}{{\rm{0}}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}$

= $\sin ({180^0} + {20^0})\sin ({360^0} - {50^0}) + c{\rm{os(36}}{{\rm{0}}^0}{\rm{ -  2}}{{\rm{0}}^0}{\rm{)cos5}}{{\rm{0}}^0}$

$= ( - \sin {20^0})( - \sin {50^0}) + \cos {20^0}\cos {50^0}$

$= \cos {50^0}\cos {20^0} + \sin {50^0}\sin {20^0}$

= $\cos ({50^0} - {20^0}) = {{\sqrt 3 } \over 2}$