Trang chủ Lớp 10 SBT Toán lớp 10 Bài 18 trang 193 bài tập SBT môn Toán Đại số 10:...

Bài 18 trang 193 bài tập SBT môn Toán Đại số 10: Không dùng bảng số và máy tính, chứng minh...

Chia sẻ
Không dùng bảng số và máy tính, chứng minh rằng. Bài 18 trang 193 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10 – Bài 3: Công thức lượng giác

Không dùng bảng số và máy tính, chứng minh rằng

a) \(\sin {20^0} + 2\sin {40^0} – \sin {100^0} = \sin {40^0}\)

b) \({{\sin ({{45}^0} + \alpha ) – c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )} \over {\sin ({{45}^0} + \alpha ) + c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )}} = \tan \alpha \)

c) \({{3{{\cot }^2}{{15}^0} – 1} \over {3 – c{\rm{o}}{{\rm{t}}^2}{{15}^0}}} =  – \cot {15^0}\)

d) \(\sin {200^0}\sin {310^0} + c{\rm{os34}}{{\rm{0}}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}{\rm{ = }}{{\sqrt 3 } \over 2}\)

Gợi ý làm bài

a) 

\(\eqalign{

& \sin {20^0} + 2\sin {40^0} – \sin {100^0} \cr

& = (\sin {20^0} – \sin {100^0}) + 2\sin {40^0} \cr} \)

=\(2\cos {60^0}\sin ( – {40^0}) + 2\sin {40^0}\)

=\( – \sin {40^0} + 2\sin {40^0} = \sin {40^0}\)

b) 

\(\eqalign{

& {{\sin ({{45}^0} + \alpha ) – c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )} \over {\sin ({{45}^0} + \alpha ) + c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )}} \cr

& = {{\sin ({{45}^0} + \alpha ) – \sin {\rm{(}}{{45}^0} – \alpha )} \over {\sin ({{45}^0} + \alpha ) + \sin {\rm{(}}{{45}^0} – \alpha )}} \cr} \)

=\({{2\cos {{45}^0}\sin \alpha } \over {2\sin {{45}^0}\cos \alpha }} = {{\sqrt 2 \sin \alpha } \over {\sqrt 2 \cos \alpha }} = \tan \alpha \)

c) 

Quảng cáo

\({{3{{\cot }^2}{{15}^0} – 1} \over {3 – c{\rm{o}}{{\rm{t}}^2}{{15}^0}}} = {{{{\cot }^2}{{30}^0}{{\cot }^2}{{15}^0} – 1} \over {c{\rm{o}}{{\rm{t}}^2}{{30}^0} – {{\cot }^2}{{15}^0}}}\)

=\({{\cot {{30}^0}\cot {{15}^0} + 1} \over {c{\rm{ot}}{{30}^0} – \cot {{15}^0}}}.{{\cot {{30}^0}\cot {{15}^0} – 1} \over {c{\rm{ot}}{{30}^0} + \cot {{15}^0}}}\)

Mặt khác ta có

\(\cot (\alpha  + \beta ) = {{\cos (\alpha  + \beta )} \over {\sin (\alpha  + \beta )}} = {{\cos \alpha \cos \beta  – \sin \alpha \sin \beta } \over {\sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta }}\)

Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho \(\sin \alpha \sin \beta \) ta được

\(\cot (\alpha  + \beta ) = {{\cot \alpha \cot \beta  – 1} \over {\cot \alpha  + \cot \beta }}\)

Tương tự

\(\cot (\alpha  – \beta ) = {{\cot \alpha \cot \beta  + 1} \over {\cot \beta  – \cot \alpha }}\)

Do đó

\(A = \cot ({15^0} – {30^0})\cot ({15^0} + {30^0}) =  – \cot {15^0}\)

d) 

\(\sin {200^0}\sin {310^0} + c{\rm{os34}}{{\rm{0}}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}\)

= \(\sin ({180^0} + {20^0})\sin ({360^0} – {50^0}) + c{\rm{os(36}}{{\rm{0}}^0}{\rm{ –  2}}{{\rm{0}}^0}{\rm{)cos5}}{{\rm{0}}^0}\)

\( = ( – \sin {20^0})( – \sin {50^0}) + \cos {20^0}\cos {50^0}\)

\( = \cos {50^0}\cos {20^0} + \sin {50^0}\sin {20^0}\)

= \(\cos ({50^0} – {20^0}) = {{\sqrt 3 } \over 2}\)



Chia sẻ