Bài 2.16 trang 91 SBT Toán Hình học 10: Cho tam giác ABC có...

Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, BC = 7 cm, CA = 8 cm.

a) Tính $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$ rồi suy ra giá trị của góc A;

b) Tính $\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}$

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

$B{C^2} = {\overrightarrow {BC} ^2} = {(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} )^2}$

${\overrightarrow { = AC} ^2} + {\overrightarrow {AB} ^2} - 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}$

Do đó:

$\eqalign{ & \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {{{{\overrightarrow {AC} }^2} + {{\overrightarrow {AB} }^2} - {{\overrightarrow {BC} }^2}} \over 2} \cr & = {{{8^2} + {5^2} - {7^2}} \over 2} = 20 \cr}$

Mặt khác:

$\eqalign{ & \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cosA \cr & = 5.8.cosA = 20 \cr}$

Suy ra $\cos A = {{20} \over {40}} = {1 \over 2} =  > \widehat A = {60^0}$

b) Ta có:

$\eqalign{ & B{A^2} = {\overrightarrow {BA} ^2} = {(\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} )^2} \cr & = {\overrightarrow {CA} ^2} + {\overrightarrow {CB} ^2} - 2\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \cr}$

Do đó:

$\eqalign{ & \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = {1 \over 2}({\overrightarrow {CA} ^2} + {\overrightarrow {CB} ^2} - {\overrightarrow {BA} ^2}) \cr & = {1 \over 2}({8^2} + {7^2} - {5^2}) = 44 \cr}$