Bài 2.55 trang 104 Sách bài tập Toán Hình học 10: Cho hình bình hành ABCD có...

Cho hình bình hành ABCD có AB = 3a, AD = 5a, góc BAD bằng ${120^0}$

a) Tìm các tích vô hướng sau: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD,} \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}$

b) Tính độ dài BD và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gợi ý làm bài

a) 

$\eqalign{ & \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = AB.AD.cos\widehat {DAB} \cr & = 3a.5a.\cos {120^0} = - {{15{a^2}} \over 2} \cr}$

$\eqalign{ & \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = (\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} )(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} ) \cr & = A{D^2} - A{B^2} = 16{a^2} \cr}$

b) 

$\eqalign{ & {\overrightarrow {BD} ^2} = {(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} )^2} = A{D^2} + A{B^2} - 2\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \cr & = 49{a^2} = > BD = 7a \cr}$

ABCD là hình bình hành nên: BC = AD = 5a;

$\widehat {BAD} + \widehat {ABC} = {180^0} =  > \widehat {ABC} = {60^0}$

Áp dụng định lí hàm số cô sin trong tam giác ABC, ta được:

$\eqalign{ & A{C^2} = B{C^2} + A{B^2} - 2BC.AB.\cos \widehat {ABC} \cr & = 19{a^2} = > AC = a\sqrt {19} \cr}$

Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABC, ta được:

$R = {{AC} \over {2\sin \widehat {ABC}}} = {{a\sqrt {19} } \over {2\sin {{60}^0}}} = a{{\sqrt {57} } \over 3}$