Bài 2.56 trang 104 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với...

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A( - 5;6), B( - 4; - 1), C(4;3)

a) Tính tọa độ trực tâm H của tam giác ABC;

b) Tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho $\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|$ ngắn nhất

Gợi ý làm bài

a) Gọi H(x; y). Ta có:

$\eqalign{ & \overrightarrow {AH} = (x + 5;y - 6) \cr & \overrightarrow {CH} = (x - 4;y - 3) \cr}$

Và 

$\eqalign{ & \overrightarrow {BC} = (8;4) \cr & \overrightarrow {AB} = (1; - 7) \cr}$

H là trực tâm giác ABC 

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB} = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 8(x + 5) + 4(y - 6) = 0 \hfill \cr (x - 4) - 7(x - 3) = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 3 \hfill \cr y = 2 \hfill \cr} \right. \cr}$

Vậy H(-3;2)

b) Vì M thuộc trục Oy nên M(O;y).

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có tọa độ điểm G là $\left( { - {5 \over 3};{8 \over 3}} \right)$ và $d = \left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right|$

d đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow MG \bot Oy \Leftrightarrow y = {y_G} \Leftrightarrow y = {8 \over 3}$

Vậy $M(0;{8 \over 3})$