Bài 2.57 trang 105 SBT Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với...

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(2;4); B(3;1); C( - 1;1)

a) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;

b) Chứng minh H, G, I thẳng hàng.

Gợi ý làm bài

A(2;4), B(3;1), C( - 1;1)

a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

$\left\{ \matrix{ {x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} = {4 \over 3} \hfill \cr {y_G} = {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} \over 3} = 2 \hfill \cr} \right.$

Vậy $G\left( {{4 \over 3};2} \right)$

*Goi H(x; y), ta có:

$\overrightarrow {AB}  = (1; - 3);\overrightarrow {BC}  = ( - 4;0)$

$\overrightarrow {CH}  = (x + 1;y - 1);\overrightarrow {AH}  = (x - 2;y - 4)$

H là trực tâm tam giác ABC 

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ AH \bot BC \hfill \cr CH \bot AB \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB} = 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 4(x - 2) = 0 \hfill \cr (x + 1) - 3(y - 1) = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = 2 \hfill \cr} \right.$

*Gọi I(x; y), I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC $\Leftrightarrow IA = IB = IC$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} = {(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} \hfill \cr {(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} = {(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = 2 \hfill \cr} \right. \cr}$

Vậy: I(1; 2)

b) Ta có: $\overrightarrow {IA}  = (1;0),\overrightarrow {IG}  = \left( {{1 \over 3};0} \right)$

=>$\overrightarrow {IH} ,\overrightarrow {IG}$ cùng phương nên H, G, I thẳng hàng.