Bài 2.58 trang 105 SBT Toán Hình học 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3a, tâm O; E là điểm trên cạnh...

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3a, tâm O; E là điểm trên cạnh BC và BE = a.

a) Tính cạnh OE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OBE;

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ACD. Tính tích vô hướng: $\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GC}$

Gợi ý làm bài

a) Áp dụng định lí hàm số cô sin trong tam giác OBE ta được:

$O{E^2} = O{B^2} + B{E^2} - 2OB.BE.\cos \widehat {OBE}$

$\eqalign{ & O{E^2} = {\left( {{{3a\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} + {a^2} - 2{{3a\sqrt 2 } \over 2}.a.\cos {45^0} = {{5{a^2}} \over 2} \cr & = > OE = {{a\sqrt {10} } \over 2} \cr}$

Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác OBE ta được:

$\eqalign{ & {R_{(\Delta OBE)}} = {{OE} \over {2\sin \widehat {OBE}}} = {{{{a\sqrt {10} } \over 2}} \over {2\sin {{45}^0}}} \cr & = {{{{a\sqrt {10} } \over 2}} \over {2{{\sqrt 2 } \over 2}}} = {{a\sqrt 5 } \over 2} \cr}$

b) $\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GC}  = (\overrightarrow {GO}  + \overrightarrow {OA} )(\overrightarrow {GO}  + \overrightarrow {OC} )$

$= \left( {\overrightarrow {GO}  + \overrightarrow {OA} } \right)\left( {\overrightarrow {GO}  - \overrightarrow {OA} } \right) = {\overrightarrow {GO} ^2} - {\overrightarrow {OA} ^2}$

$= {\left( {{1 \over 3}.{{3a\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} - {\left( {{{3a\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} =  - 4{a^2}$