Trang chủ Lớp 10 SBT Toán lớp 10 Bài 20 trang 194 Sách BT Toán Đại số 10: Không sử...

Bài 20 trang 194 Sách BT Toán Đại số 10: Không sử dụng bảng số và máy tính, hãy tính...

Chia sẻ
Không sử dụng bảng số và máy tính, hãy tính. Bài 20 trang 194 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10 – Bài 3: Công thức lượng giác

Không sử dụng bảng số và máy tính, hãy tính

a) \({\sin ^4}{\pi  \over {16}} + {\sin ^4}{{3\pi } \over {16}} + {\sin ^4}{{5\pi } \over {16}} + {\sin ^4}{{7\pi } \over {16}}\)

b) \(\cot 7,{5^0} + \tan 67,{5^0} – \tan 7,{5^0} – \cot 67,{5^0}\)

Gợi ý làm bài

a) \({\sin ^4}{\pi  \over {16}} + {\sin ^4}{{3\pi } \over {16}} + {\sin ^4}{{5\pi } \over {16}} + {\sin ^4}{{7\pi } \over {16}}\)

\( = {\left( {{{1 – \cos {\pi  \over 8}} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{1 – \cos {{3\pi } \over 8}} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{1 – \cos {{5\pi } \over 8}} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{1 – \cos {{7\pi } \over 8}} \over 2}} \right)^2}\)

\( = {1 \over 4}\left( {1 – 2\cos {\pi  \over 8} + {{\cos }^2}{\pi  \over 8} + 1 – 2\cos {{3\pi } \over 8} + {{\cos }^2}{{3\pi } \over 8} + 1 – 2\cos {{5\pi } \over 8} + {{\cos }^2}{{5\pi } \over 8} + 1 – 2\cos {{7\pi } \over 8} + {{\cos }^2}{{7\pi } \over 8}} \right)\)

\( = 1 – {1 \over 2}\left( {\cos {\pi  \over 8} + \cos {{3\pi } \over 8} + \cos {{5\pi } \over 8} + \cos {{7\pi } \over 8}} \right) + {1 \over 4}\left( {{{1 + \cos {\pi  \over 4}} \over 2} + {{1 + \cos {{3\pi } \over 4}} \over 2} + {{1 + \cos {{5\pi } \over 4}} \over 2} + {{1 + \cos {{7\pi } \over 4}} \over 2}} \right)$\)

=\(1 – {1 \over 2}\left( {\cos {\pi  \over 8} + \cos {{3\pi } \over 8} – \cos {{3\pi } \over 8} – \cos {\pi  \over 8}} \right) + {1 \over 8}\left( {4 + {{\sqrt 2 } \over 2} – {{\sqrt 2 } \over 2} – {{\sqrt 2 } \over 2} + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)\)

= \({3 \over 2}\)

b) \(\cot 7,{5^0} + \tan 67,{5^0} – \tan 7,{5^0} – \cot 67,{5^0}\)

Quảng cáo

= \({{\cos 7,{5^0}} \over {\sin 7,{5^0}}} – {{\sin 7,{5^0}} \over {\cos 7,{5^0}}} + {{\sin 67,{5^0}} \over {\cos 67,{5^0}}} – {{\cos 67,{5^0}} \over {\sin 67,{5^0}}}\)

= \({{{{\cos }^2}7,{5^0} – {{\sin }^2}7,{5^0}} \over {\sin 7,{5^0}\cos 7,{5^0}}} + {{{{\sin }^2}67,{5^0} – {{\cos }^2}67,{5^0}} \over {sin67,{5^0}\cos 67,{5^0}}}\)

= \(\eqalign{

& {{\cos {{15}^0}} \over {{1 \over 2}\sin {{15}^0}}} – {{\cos {{135}^0}} \over {{1 \over 2}\sin {{135}^0}}} \cr

& = {{2(\sin {{135}^0}\cos {{15}^0} – \cos {{135}^0}\sin {{15}^0})} \over {\sin {{15}^0}\sin {{135}^0}}} \cr} \)

= \({{\sin ({{135}^0} – {{15}^0})} \over {\sin ({{45}^0} – {{30}^0})\sin ({{180}^0} – {{45}^0})}}\)

= \({{2\sin {{120}^0}} \over {(\sin {{45}^0}\cos {{30}^0} – \cos {{45}^0}\sin {{30}^0})sin{{45}^0}}}\)

\(\eqalign{

& = {{\sqrt 3 } \over {{{\sqrt 2 } \over 2}({{\sqrt 3 } \over 2} – {1 \over 2}).{{\sqrt 2 } \over 2}}} \cr

& = {{4\sqrt 3 } \over {\sqrt 3 – 1}} = 6 + 2\sqrt 3 \cr} $\)



Chia sẻ