Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m
a) \(2m(x - 2) + 4 = (3 - {m^2})x\)
b) \({{(m + 3)x} \over {2x - 1}} = 3m + 2\)
c) \({{8mx} \over {x + 3}} = (4m + 1)x + 1\)
d) \({{(2 - m)x} \over {x - 2}} = (m - 1)x - 1\)
Gợi ý làm bài
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình
\((m - 1)(m + 3)x = 4(m - 1)\)
Với \(m \ne 1\) và \(m \ne - 3\) phương trình có nghiệm \(x = {4 \over {m + 3}}\);
Với m = 1 mọi số thực x đều là nghiệm của phương trình;
Với m = -3 phương trình vô nghiệm.
b) Điều kiện của phương trình là \(m \ne {1 \over 2}\). Khi đó ta có
\({{(m + 3)x} \over {2x - 1}} = 3m + 2 \Leftrightarrow (m + 2)x = (3m + 2)(2x - 1)\)
\( \Leftrightarrow (5m + 1)x = 3m + 2\)
Nếu $\(m \ne - {1 \over 5}\) thì phương trình có nghiệm \(x = {{3m + 2} \over {5m + 1}}\)
Giá trị này là nghiệm của phương trình đã cho khi
\({{3m + 2} \over {5m + 1}} \ne {1 \over 2} \Leftrightarrow 6m + 4 \ne 5m + 1 \Leftrightarrow m \ne - 3\)
Nếu \(m = - {1 \over 5}\) phương trình cuối vô nghiệm.
Kết luận.
Với \(m = - {1 \over 5}\) hoặc \(m = - 3\) phương trình đã cho vô nghiệm.
Với \(m \ne - {1 \over 5}\) và \(m \ne - 3\) nghiệm của phương trình đã cho là \(x = {{3m + 2} \over {5m + 1}}\)
c) Điều kiện của phương trình là \(x \ne - 3\). Khi đó ta có
\({{8mx} \over {x + 3}} = (4m + 1)x + 1 \Leftrightarrow 8mx = {\rm{[}}(4m + 1)x + 1](x + 3)\)
\( \Leftrightarrow (4m + 1){x^2} + 4(m + 1)x + 3 = 0.(1)\) (1)
Với \(m = - {1 \over 4}\) phương trình (1) trở thành
Advertisements (Quảng cáo)
\(3x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)
Với \(m \ne - {1 \over 4}\) phương trình (1) là một phương trình bậc hai có
\(\Delta ‘ = {(2m - 1)^2} \ge 0\)
Lúc đó phương trình (1) có hai nghiệm
\({x_1} = - {3 \over {4m + 1}},{x_2} = - 1\)
Ta có \( - {3 \over {4m + 1}} \ne - 3 \Leftrightarrow 4m + 1 \ne 1 \Leftrightarrow m \ne 0\)
Kết luận
Với m = 0 hoặc \(m = - {1 \over 4}\) phương trình đã cho có một nghiệm x = -1.
Với \(m \ne 0\) và \(m \ne - {1 \over 4}\) phương trình đã cho có hai nghiệm
x = -1 và \(x = - {3 \over {4m + 1}}\)
d) Điều kiện của phương trình là \(x \ne 2\). Khi đó ta có
\({{(2 - m)x} \over {x - 2}} = (m - 1)x - 1 \Leftrightarrow (2 - m)x = (x - 2){\rm{[}}(m - 1)x - 1]\)
\( \Leftrightarrow (m - 1){x^2} - (m + 1)x + 2 = 0(2)\)
Với m = 1 phương trình (2) có dạng
\( - 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Với \(m \ne 1\) thì phương trình (2) là một phương trình bậc hai có :
\(\Delta = {(m - 3)^2} \ge 0\)
Lúc đó phương trình (2) có hai nghiệm
\({x_1} = 1,{x_2} = {2 \over {m - 1}}\)
Ta có: \({2 \over {m - 1}} \ne 2 \Leftrightarrow m - 1 \ne 1 \Leftrightarrow m \ne 2\)
Kết luận :
Với m = 1 và m = 2 phương trình đã cho có một nghiệm là x = 1.
Với \(m \ne 1\) và \(m \ne 2\) phương trình đã cho có hai nghiệm
x = 1 và \(x = {2 \over {m - 1}}\)