Bài 3.51 trang 162 Sách bài tập Toán Hình Học 10: Trong mặt phẳng tọa độ...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E) : ${{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1$

a) Xác định độ dài các trục, tiêu cự của elip (E) ;

b) Tìm các điểm M thuộc (E) sao cho ${1 \over {M{F_1}}} + {1 \over {M{F_2}}} = {8 \over {{F_1}{F_2}}}$.

Gợi ý làm bài

$(E):{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1$

a) Ta có :  

$\left\{ \matrix{ {a^2} = 25 \Rightarrow a = 5 \hfill \cr {b^2} = 9 \Rightarrow b = 3 \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 9 = 16 \Rightarrow c = 4.$

Độ dài trục lớn : ${A_1}{A_2} = 2a = 10$; Độ dài trục bé : ${B_1}{B_2} = 2b = 6$. Tiêu cự : ${F_1}{F_2} = 2c = 8$

b) M thuộc $(E) \Rightarrow \left\{ \matrix{ M{F_1} = a + {c \over a}x = 5 + {4 \over 5}x \hfill \cr M{F_2} = a - {c \over a}x = 5 - {4 \over 5}x \hfill \cr} \right.$

${1 \over {M{F_1}}} + {1 \over {M{F_2}}} = {8 \over {{F_1}{F_2}}} \Leftrightarrow 25 - {{16} \over {25}}{x^2} = 10$

$\Leftrightarrow x \pm {{5\sqrt {15} } \over 4} \Rightarrow y =  \pm {3 \over 4}$

Vậy : có bốn điểm thỏa mãn yêu cầu bào toán là: $M\left( { \pm {{5\sqrt {15} } \over 4}; \pm {3 \over 4}} \right).$