Bài 1 trang 69 Hình học 10 Nâng cao: Chứng minh các công thức sau...

Bài 1. Chứng minh các công thức sau

a) $\overrightarrow a .\,\overrightarrow b  = {1 \over 2}\left( {|\overrightarrow a {|^2} + |\overrightarrow b {|^2} - \overrightarrow {|a}  - \overrightarrow b {|^2}} \right)$;

b) $\overrightarrow a .\,\overrightarrow b  = {1 \over 4}\left( {|\overrightarrow a  + \overrightarrow b {|^2} - |\overrightarrow a  - \overrightarrow b {|^2}} \right)$.

a) Ta có $|\overrightarrow a  - \overrightarrow b {|^2} = {(\overrightarrow a  - \overrightarrow b )^2} = |\overrightarrow a {|^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b  + |\overrightarrow b {|^2}$

 $\Rightarrow \,\,\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow b  = {1 \over 2}(|\overrightarrow a {|^2} + |\overrightarrow b {|^2} - |\overrightarrow a  - \overrightarrow b {|^2})$

b) Ta có $|\overrightarrow a  + \overrightarrow b {|^2} - |\overrightarrow a  - \overrightarrow b {|^2} = {(\overrightarrow a  + \overrightarrow b )^2} - {(\overrightarrow a  - \overrightarrow b )^2}$           

$\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = (\overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow a + \overrightarrow b )(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow a - \overrightarrow b ) = 4.\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow b \cr & \Rightarrow \,\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = {1 \over 4}(|\overrightarrow a + \overrightarrow b {|^2} - |\overrightarrow a - \overrightarrow b {|^2}). \cr}$