Bài 2 trang 69 Hình học 10 Nâng cao: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC....

Bài 2. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

a) Chứng minh rằng với mọi điểm $M$, ta luôn có

$M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$.

b) Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho $M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}$, trong đó $k$ là một số cho trước.

Ta có

$\eqalign{ & M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} \cr &= {(\overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GM} )^2} + {(\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GM} )^2} + {(\overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GM} )^2} \cr &  = {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2} + 3{\overrightarrow {MG} ^2} - 2\overrightarrow {GM} (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) \cr &= 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} \cr}$

b)  Áp dụng câu a), ta có

 $M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,3M{G^2} = {k^2} - (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})$

+) Nếu ${k^2} > G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$ thì tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $G$ bán kính $\sqrt {{1 \over 3}\left[ {{k^2} - (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})} \right]}$.

+) Nếu ${k^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$ thì tập hợp các điểm $M$ chỉ gồm một phần tử là $G$.

+) Nếu ${k^2} < G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$ thì tập hợp điểm $M$ là tập rỗng.