Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 Nâng cao Bài 2 trang 69 Hình học 10 Nâng cao: Gọi G là...

Bài 2 trang 69 Hình học 10 Nâng cao: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC....

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.. Bài 2 trang 69 SGK Hình học 10 nâng cao – Ôn tập chương II – Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bài 2. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

a) Chứng minh rằng với mọi điểm \(M\), ta luôn có

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\).

b) Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}\), trong đó \(k\) là một số cho trước.

Quảng cáo

Ta có

\(\eqalign{
& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} \cr
&= {(\overrightarrow {GA} – \overrightarrow {GM} )^2} + {(\overrightarrow {GB} – \overrightarrow {GM} )^2} + {(\overrightarrow {GC} – \overrightarrow {GM} )^2} \cr
&  = {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2} + 3{\overrightarrow {MG} ^2} – 2\overrightarrow {GM} (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) \cr
&= 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} \cr} \)

b)  Áp dụng câu a), ta có

 \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,3M{G^2} = {k^2} – (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})\)

+) Nếu \({k^2} > G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) thì tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(G\) bán kính \(\sqrt {{1 \over 3}\left[ {{k^2} – (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})} \right]} \).

+) Nếu \({k^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) thì tập hợp các điểm \(M\) chỉ gồm một phần tử là \(G\).

+) Nếu \({k^2} < G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) thì tập hợp điểm \(M\) là tập rỗng.

Quảng cáo