Bài 12 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao, Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau:...

Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau

a) $y = {1 \over {x - 2}}$ trên mỗi khoảng $(-∞; 2)$ và $(2; +∞)$

b) y = x² – 6x + 5 trên mỗi khoảng $(-∞; 3)$ và $(3; +∞)$

c) y = x²⁰⁰⁵ + 1 trênn khoảng $(-∞; +∞)$

a) $f(x) = {1 \over {x - 2}}$

+ Với x₁; x₂ ∈ $(-∞; 2)$ và x₁ ≠ x₂; ta có:

 $f({x_2}) - f({x_1}) = {1 \over {{x_2} - 2}} - {1 \over {{x_1} - 2}} = {{{x_1} - 2 - {x_2} + 2} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}}$

$= {{{x_1} - {x_2}} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}}$

$\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 1} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}} < 0$ 

Vậy hàm số $y = {1 \over {x - 2}}$ nghịch biến trên $(-∞; 2)$

+ Với x₁; x₂ ∈ $(2; +∞)$ và x₁ ≠ x₂; ta có:

${{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 1} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}} < 0$

Vậy hàm số $y = {1 \over {x - 2}}$  nghịch biến trên $(2; +∞)$

Bảng biến thiên

b) f(x) = x² – 6x + 5

+ Với x₁; x₂ ∈ $(-∞; 3)$  và x₁ ≠ x₂; ta có:

f(x₂) – f(x₁) = x₂² – 6x₂ + 5 – (x₁² – 6x₁ + 5)

= x₂² - x₁² + 6(x₁ – x₂) = (x₂ – x₁)(x₁  + x₂ – 6)

$\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} - 6 < 0$  (vì x₁ < 3; x₂ < 3)

Vậy hàm số y = x² – 6x + 5 nghịch biến trên $(-∞, 3)$ 

+ Với x₁; x₂ ∈ $(3, +∞)$ và x₁ ≠ x₂; ta có:

${{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} - 6 > 0$ (vì x₁ > 3; x₂ > 3)

Vậy hàm số y = x² – 6x + 5 đồng biến trên $(3;+∞)$ 

Bảng biến thiên

c)

Với mọi x₁, x₂ ∈ $(-∞; +∞)$ , ta có x₁ < x₂ 

$\Rightarrow$ x₁²⁰⁰⁵ < x₂²⁰⁰⁵

$\Rightarrow$  x₁²⁰⁰⁵ + 1 < x₂²⁰⁰⁵ + 1

hay f(x₁) < f(x₂) (y = f(x) = x²⁰⁰⁵ + 1).

Từ đấy ta có, hàm số đã cho đồng biến trên $(-∞; +∞)$