Câu 2.8 trang 31 SBT Đại số 10 Nâng cao. Có hay không một hàm số xác định trên R vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ?. Bài 1. Đại cương về hàm số
Có hay không một hàm số xác định trên R vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ?
Dễ thấy hàm số \(y = 0\) là hàm số xác định trên \(R\), vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ. Giả sử hàm số \(y = f(x)\) là một hàm số bất kì có tính chất như thế. Khi đó với mọi \(x\) thuộc \(R\) ta có :
\(f\left( { – x} \right) = f\left( x \right)\) (vì \(f\) là hàm số chẵn) ;
\(f\left( { – x} \right) = – f\left( x \right)\) (vì \(f\) là hàm số lẻ).
Từ đó suy ra với mọi \(x\) thuộc \(R\), xảy ra \(f(x) = -f(x)\), nghĩa là \(f(x) = 0\). Vậy \(y = 0\) là hàm số duy nhất xác định trên \(R\), vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ.