Câu 2.8 trang 31 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: Có hay không một hàm số xác định trên R vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ?...

Có hay không một hàm số xác định trên R vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ?

Dễ thấy hàm số $y = 0$ là hàm số xác định trên $R$, vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ. Giả sử hàm số $y = f(x)$ là một hàm số bất kì có tính chất như thế. Khi đó với mọi $x$ thuộc $R$ ta có :

$f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)$ (vì $f$ là hàm số chẵn) ;

$f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)$ (vì $f$ là hàm số lẻ).

Từ đó suy ra với mọi $x$ thuộc $R$, xảy ra $f(x) = -f(x)$, nghĩa là $f(x) = 0$. Vậy $y = 0$ là hàm số duy nhất xác định trên $R$, vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ.