Câu 2.9 trang 31 SBT Đại số 10 Nâng cao: Bài 1. Đại cương về hàm số...

Cho hai hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ xác định trên $R$. Đặt $S\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)$ và $P\left( x \right) = f\left( x \right)g\left( x \right).$ Chứng minh rằng :

a. Nếu $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ là những hàm số chẵn thì $y = S\left( x \right)$ và $y = P\left( x \right)$ cũng là những hàm số chẵn.

b. Nếu $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ là những hàm số lẻ thì $y = S\left( x \right)$ là hàm số lẻ và $y = P\left( x \right)$ là hàm số chẵn.

c. Nếu $y = f\left( x \right)$ là hàm số chẵn, $y = g\left( x \right)$ là hàm số lẻ thì $y = P\left( x \right)$ là hàm số lẻ.

a. Dễ dàng suy ra từ giả thiết và định nghĩa hàm số chẵn.

b. Với x tùy ý thuộc R, ta có : $f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)$ và $g\left( { - x} \right) =  - g\left( x \right)$ (vì f và g là những hàm số lẻ) ; do đó

$\eqalign{ & S\left( { - x} \right) = f\left( { - x} \right) + g\left( { - x} \right) \cr & = - f\left( x \right) - g\left( x \right) \cr & = - \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] \cr & = - S\left( x \right) \cr}$

$\eqalign{ & P\left( { - x} \right) = f\left( { - x} \right)g\left( { - x} \right) \cr & = \left[ { - f\left( x \right)} \right]\left[ { - g\left( x \right)} \right] \cr & = f\left( x \right)g\left( x \right) \cr & = P\left( x \right) \cr}$

Vậy $y = S(x)$ là hàm số lẻ và $y = P(x)$ là hàm số chẵn.

c. Với $x$ tùy ý thuộc $R$, ta có : $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)$ và $g\left( { - x} \right) =  - g\left( x \right)$ (vì $f$ là hàm số chẵn và $g$ là hàm số lẻ) ; do đó

$P\left( { - x} \right) = f\left( { - x} \right)g\left( { - x} \right)$

$= f\left( x \right)\left[ { - g\left( x \right)} \right]$

$=  - f\left( x \right)g\left( x \right)$

$=  - P\left( x \right).$

Vậy $y = P(x)$ là hàm số lẻ.