Bài 3 trang 70 Hình học 10 Nâng cao: Cho hình bình hành ABCD. Tìm tập hợp các điểm M sao cho...

Bài 3. Cho hình bình hành $ABCD$. Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho

$M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2}$, trong đó $k$ là một số cho trước.

Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$, ta có

$\eqalign{ & M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} + {\overrightarrow {MD} ^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OM} )^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} + O{D^2} + 4O{M^2} - 2\overrightarrow {OM} (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} ) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2(O{A^2} + O{B^2}) + 4O{M^2} \cr}$

Do đó $M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,\,4O{M^2} = {k^2} - 2(O{A^2} + O{B^2})$.

+) Nếu ${k^2} > 2(O{A^2} + O{B^2})$ thì tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $O$ bán kính $\sqrt {{1 \over 4}\left[ {{k^2} - 2(O{A^2} + O{B^2})} \right]}$.

+) Nếu ${k^2} = 2(O{A^2} + O{B^2})$ thì tập hợp các điểm $M$ chỉ gồm một phần tử là $O$.

+) Nếu ${k^2} < 2(O{A^2} + O{B^2})$ thì tập hợp điểm $M$ là tập rỗng.