Bài 3. Cho hình bình hành \(ABCD\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho
\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2}\), trong đó \(k\) là một số cho trước.
Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\), ta có
\(\eqalign{
& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} + {\overrightarrow {MD} ^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OM} )^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} + O{D^2} + 4O{M^2} - 2\overrightarrow {OM} (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} ) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2(O{A^2} + O{B^2}) + 4O{M^2} \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Do đó \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,\,4O{M^2} = {k^2} - 2(O{A^2} + O{B^2})\).
+) Nếu \({k^2} > 2(O{A^2} + O{B^2})\) thì tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(\sqrt {{1 \over 4}\left[ {{k^2} - 2(O{A^2} + O{B^2})} \right]} \).
+) Nếu \({k^2} = 2(O{A^2} + O{B^2})\) thì tập hợp các điểm \(M\) chỉ gồm một phần tử là \(O\).
+) Nếu \({k^2} < 2(O{A^2} + O{B^2})\) thì tập hợp điểm \(M\) là tập rỗng.