Bài 20 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao, Cho hai đường thẳng sau:...

Cho hai đường thẳng

$\eqalign{ & {\Delta _1}:x + 2y - 3 = 0 \cr & {\Delta _2}:3x - y + 2 = 0 \cr}$

Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm P(3, 1) và cắt  lần lượt ở A,B sao cho ${\Delta _1},{\Delta _2}$ tạo với ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ một tam giác cân có cạnh đáy là AB.

${\Delta _1}$ có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_1}} \left( {1;2} \right).$

${\Delta _2}$ có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_2}} \left( {3; - 1} \right).$

Giả sử $\Delta$ qua P có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n \left( {a;b} \right);\,\Delta$ cắt ${\Delta _1},{\Delta _2}$ ở A và B sao cho tạo với  một tam giác cân có đáy AB thì góc hợp bởi $\Delta$ với ${\Delta _1}$và góc hợp bởi $\Delta$  với ${\Delta _2}$ bằng nhau.

Do đó:

$\eqalign{ & {{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = {{\left| {\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} \cr & \Leftrightarrow {{|a + 2b|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{|3a - b|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} \cr & \Leftrightarrow \sqrt 2 |a + 2b| = |3a - b| \cr & \Leftrightarrow 2{\left( {a + 2b} \right)^2} = {\left( {3a - b} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow {a^2} - 2ab - {b^2} = 0 \cr}$

Chọn $b = 1$ ta có: ${a^2} - 2a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \pm \sqrt 2$

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

$\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0;$

$\left( {1 - \sqrt 2 } \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0.$