Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 Nâng cao Bài 20 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao, Cho hai...

Bài 20 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao, Cho hai đường thẳng sau:...

Cho hai đường thẳng sau:. Bài 20 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao – Bài 3. Khoảng cách và góc

Cho hai đường thẳng

\(\eqalign{
& {\Delta _1}:x + 2y – 3 = 0 \cr
& {\Delta _2}:3x – y + 2 = 0 \cr} \)

Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm P(3, 1) và cắt  lần lượt ở A,B sao cho \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tạo với \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) một tam giác cân có cạnh đáy là AB.

\({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1;2} \right).\)

Quảng cáo

\({\Delta _2}\) có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {3; – 1} \right).\)

Giả sử \(\Delta \) qua P có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right);\,\Delta \) cắt \({\Delta _1},{\Delta _2}\) ở A và B sao cho tạo với  một tam giác cân có đáy AB thì góc hợp bởi \(\Delta \) với \({\Delta _1}\)và góc hợp bởi \(\Delta \)  với \({\Delta _2}\) bằng nhau.

Do đó:

\(\eqalign{
& {{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = {{\left| {\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} \cr
& \Leftrightarrow {{|a + 2b|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{|3a – b|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 2 |a + 2b| = |3a – b| \cr
& \Leftrightarrow 2{\left( {a + 2b} \right)^2} = {\left( {3a – b} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {a^2} – 2ab – {b^2} = 0 \cr} \)

Chọn \(b = 1\) ta có: \({a^2} – 2a – 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \pm \sqrt 2 \)

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

\(\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {x – 3} \right) + \left( {y – 1} \right) = 0;\)

\(\left( {1 – \sqrt 2 } \right)\left( {x – 3} \right) + \left( {y – 1} \right) = 0.\)

Quảng cáo