Bài 40 trang 106 SBT Hình 10 nâng cao: Bài 3. Khoảng cách và góc....

Cho hai điểm $P(1 ; 6), Q(-3 ; -4)$ và đường thẳng $\Delta$: $2x-y-1=0.$

a)  Tìm tọa độ điểm $M$ trên $\Delta$ sao cho $MP +MQ$ nhỏ nhất.

b) Tìm tọa độ điểm $N$ trên $\Delta$ sao cho $|NP-NQ|$ lớn nhất.

a) Dễ thấy $P, Q$ nằm về một phía đối với đường thẳng $\Delta$. Gọi $P’$ là điểm đối xứng với $p$ qua $\Delta$. Khi đó, $MP + MQ \ge P’Q$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $M, P’, Q$ thẳng hàng. Ta tìm được $P’=(5;4)$, phương trình $P’Q$ là $\left\{ \matrix{  x = 5 - t \hfill \cr  y = 4 - t \hfill \cr}  \right.$.

Từ đó ta tìm được $M=(0 ;1)$.

b) Ta có $|NP - NQ| \le PQ$. Dấu “= xảy ra khi và chỉ khi $N, P, Q$ thẳng hàng. Vậy $N$ chính là giao điểm của đường thẳng $PQ$ và $\Delta$.

Ta tìm được $N=(-9 ; -19)$.