Bài 38 trang 106 SBT Hình 10 nâng cao: (h.101)....

Cho hình vuông có đỉnh $A=(-4 ; 5)$ và một đường chéo nằm trên đường thẳng có phương trình $7x-y+8=0$. Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông.

(h.101).

Nhận thấy $A \notin \Delta : 7x - y + 8 = 0$. Vậy $B, D  \in \Delta$.

$\Delta$ có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow u (1 ; 7)$. Phương trình đường chéo $AC$ là:

$1(x + 4) + 7(y - 5) = 0$

$\Leftrightarrow x + 7y - 31 = 0$.

Tọa độ giao điểm $I$ của $AC$ và $BD$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}7x - y + 8 = 0\\x + 7y - 31 = 0\end{array} \right.     \Leftrightarrow   \left\{ \begin{array}{l}x =  -  \dfrac{1}{2}\\y =  \dfrac{9}{2}\end{array} \right.$.  Vậy $I\left( { -  \dfrac{1}{2} ;  \dfrac{9}{2}} \right)$

Suy ra tọa độ của $C$ là $(3 ; 4)$.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AC$ tạo với các đường thẳng $AB$ và $AD$ các góc $45^0$. Đường thẳng $d$ đi qua $A(-4 ; 5)$ có phương trình:

$\alpha (x + 4) + \beta (y - 5) = 0$

$\Leftrightarrow    \alpha x + \beta y + 4\alpha  - 5\beta  = 0$ $({\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0)$.

D tạo với $AC$ một góc $45^0$ khi và chỉ khi $\cos {45^0} =  \dfrac{{|\alpha  + 7\beta |}}{{\sqrt {50.} \sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }}$

$\Leftrightarrow     \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} =  \dfrac{{|\alpha  + 7\beta |}}{{\sqrt {50} .\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }}$

$\Leftrightarrow    12{\alpha ^2} - 7\alpha \beta  - 12{\beta ^2} = 0$

$\Leftrightarrow   \left[ \begin{array}{l}\alpha  =  \dfrac{4}{3}\beta \\\alpha  =  -  \dfrac{3}{4}\beta \end{array} \right.$

Với $\alpha  =  \dfrac{4}{3}\beta$, ta chọn $\beta  = 3, \alpha  = 4$ ta được đường thẳng ${d_1}: 4x + 3y + 1 = 0$.

Với $\alpha  =  -  \dfrac{3}{4}\beta$, ta chọn $\beta  =  - 4, \alpha  = 3$ ta được đường thẳng ${d_2}: 3x - 4y + 32 = 0$.

Lấy phương trình $AB$ là :$4x+3y+1=0$ thì phương trình $AD$ là $3x-4y+32=0.$

Do đó ta viết được phương trình của $CD$ và $BC$ lần lượt là $4x+3y-24=0$ và $3x-4y+7=0.$ (Lấy phương trình $AD$ là $4x+3y+1=0$ thì phương trình của $AB$ là $3x-4y+32=0$ và ta cũng có kết quả tương tự).