Bài 36 trang 106 SBT Hình 10 nâng cao: Cho hai đường thẳng...

a) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, biết phương trình các đường thẳng $AB, BC$ lần lượt là $x+2y-1=0$ và $3x-y+5=0$. Viết phương trình đường thẳng $AC$ biết rằng đường thẳng $AC$ đi qua điểm $M(1 ; -3).$

b) Cho hai đường thẳng

${\Delta _1}: 2x - y + 5 = 0 ,$ ${\Delta _2}: 3x + 6y - 1 = 0$ và điểm $M(2 ; -1)$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$ và tạo với hai đường thẳng $\Delta_1$, $\Delta_2$ một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của $\Delta_1$ và $\Delta_2$.

a) Đường thẳng $AB$ có vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} (1 ; 2)$, đường thẳng $BC$ có vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}} (3 ;  - 1)$. Đường thẳng $AC$ qua $M$ nên có phương trình:

$\alpha (x - 1) + \beta (y + 3) = 0   ({\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0)$.

Tam giác $ABC$ cân tại đỉnh $A$ nên ta có

Với $\alpha  =  \dfrac{1}{2}\beta$, chọn $\beta  = 2, \alpha  = 1$ ta được đường thẳng $AC$: $x+2y+5=0$. Trường hợp này bị loại vì khi đó đường thẳng $AC$ song song với đường thẳng $AB.$

Với $\alpha  =  \dfrac{2}{{11}}\beta$, ta chọn $\beta  = 11, \alpha  = 2$ ta được đường thẳng $AC$: $2x+11y+31=0.$

b) Hãy viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$ và vuông góc với mỗi đường phân giác của các góc tạo bởi ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$. Ta tìm được hai đường thẳng thỏa mãn bài toán là : $3x+y-5=0$ và $x-3y-5=0.$