Bài 19 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao, Cho điểm M(2, 3) . Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ ở A và B sao cho là tam giác vuông cân tại đỉnh M....

Cho điểm M(2, 3) . Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ ở A và B sao cho  là tam giác vuông cân tại đỉnh M.

Giả sử $A\left( {a;0} \right);B\left( {0;b} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {MA} \left( {a - 2; - 3} \right);\overrightarrow {MB} \left( { - 2;b - 3} \right).$

$\Delta ABM$ vuông cân tại M 

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0 \hfill \cr MA = MB \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2\left( {a - 2} \right) - 3\left( {b - 3} \right) = 0 \hfill \cr {\left( {a - 2} \right)^2} + 9 = 4 + {\left( {b - 3} \right)^2} \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2a + 3b = 13\,\,\,\left( 1 \right)\, \hfill \cr {\left( {a - 2} \right)^2} + 5 = {\left( {b - 3} \right)^2}\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right. \cr}$

Từ (1) suy ra $b = {{13 - 2a} \over 3}$ thay vào (2) ta được:

$\eqalign{ & {\left( {a - 2} \right)^2} + 5 = {\left( {{{13 - 2a} \over 3} - 3} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 + 5 = {{{{\left( {4 - 2a} \right)}^2}} \over 9} \cr & \Leftrightarrow 9{a^2} - 36a + 81 = 16 - 16a + 4{a^2} \cr & \Leftrightarrow 5{a^2} - 20a + 65 = 0 \cr}$ 

Phương trình vô nghiệm.

Vậy không tồn tại tam giác ABM vuông cân tại M.