Cho đường thẳng Δm: (m−2)x+(m−1)y+2m−1=0 và hai điểm A(2;3),B(1;0).
a) Chứng minh rằng Δm luôn đi qua một điểm cố định với mọi m;
b) Xác định m để Δm có ít nhất một điểm chung với đoạn thẳng AB;
c) Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δm là lớn nhất.
a) Δm luôn đi qua điểm cố định M(x0;y0) với mọi m khi và chỉ khi
(m−2)x0+(m−1)y0+2m−1=0∀m⇔(x0+y0+2)m−2x0−y0−1=0∀m⇔{x0+y0+2=0−2x0−y0−1=0⇔{x0=1y0=−3.
Vậy Δm luôn đi qua điểm cố định M(1;−3) với mọi m.
b) Đặt
f(x,y)=(m−2)x+(m−1)y+2m−1=0
Δm có ít nhất một điểm chung với đoạn AB ⇔f(xA,yA).f(xB,yB)≤0
Advertisements (Quảng cáo)
⇔(7m−8)(3m−3)≤0
⇔1≤m≤87.
c) (h.103).
Dựng AH⊥Δm. Ta có AH≤AM với mọi m (M là điểm thuộc Δm với mọi m đã nói ở câu a). Vậy AH lớn nhất bằng AM khi và chỉ khi H trùng với M hay AM⊥Δm.
Ta có : →AM=(−1;−6),Δm có vec tơ chỉ phương →u(1−m;m−2).
AM⊥Dm⇔→AM.→u=0
⇔−1(1−m)−6(m−2)=0
⇔m=115.
Vậy với m=115 thì khoảng cách từ A đến Δm là lớn nhất.