Bài 37 trang 106 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10: Áp dụng câu a), ta có...

Cho hai đường thẳng song song $\Delta_1$: $ax+by+c=0$ và $\Delta_2$: $ax+by+d=0$. Chứng minh rằng

a) Khoảng cách giữa $\Delta$₁ và $\Delta$₂ bằng $\dfrac{{|c - d|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$;

b) Phương trình đường thẳng song song và cách đều $\Delta$₁ và $\Delta$₂ có dạng $ax + by +  \dfrac{{c + d}}{2} = 0$.

Áp dụng: Cho hai đường thẳng song song có phương trình $-3x+4y-10=0$ và $-3x+4y+1=0$. Hãy lập phương trình đường thẳng song song và cách đều hai đường thẳng trên.

a) Lấy $M(x_0 ; y_0)$ thuộc ${\Delta _1}$, suy  ra $a{x_0} + b{y_0} + c = 0$. Kí hiệu $d({\Delta _1} ; {\Delta _2})$là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$. Khi đó ta có:

$d({\Delta _1} ; {\Delta _2}) = d( M ; {\Delta _2})$

$=  \dfrac{{|a{x_0} + b{y_0} + c|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} =  \dfrac{{|c - d|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

b) Phương trình đường thẳng ${\Delta _3}$ song song với ${\Delta _1}$ và ${\Delta _3}$ có dạng

$ax + by + e = 0  (e \ne c, e \ne d)$.

Áp dụng câu a), ta có

$d({\Delta _1} ; {\Delta _3}) =  \dfrac{{|c - e|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}  ;$

$d({\Delta _2} ; {\Delta _3}) =  \dfrac{{|d - e|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

${\Delta _3}$ cách đều hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ khi và chỉ khi

$d({\Delta _1} ; {\Delta _3}) = d({\Delta _2} ; {\Delta _3})$

$\Leftrightarrow   |c - e| = |d - e|   \Leftrightarrow     \left[ \begin{array}{l}c = d\\e =  \dfrac{{c + d}}{2}\end{array} \right.$

Trường hợp c=d loại vì ${\Delta _1} \ne {\Delta _2}$.

Vậy phương trình của ${\Delta _3}$ là $ax + by +  \dfrac{{c + d}}{2} = 0$.

Áp dụng: Đường thẳng song song và cách đều ha đường thẳng đã cho có phương trình:

$- 3x + 4y +  \dfrac{{ - 10 + 1}}{2} = 0$ hay $- 3x + 4y -  \dfrac{9}{2} = 0$.