Advertisements (Quảng cáo)
Cho hai đường thẳng song song \(\Delta_1 \): \(ax+by+c=0\) và \(\Delta_2 \): \(ax+by+d=0\). Chứng minh rằng
a) Khoảng cách giữa \(\Delta \)1 và \(\Delta \)2 bằng \( \dfrac{{|c – d|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\);
b) Phương trình đường thẳng song song và cách đều \(\Delta \)1 và \(\Delta \)2 có dạng \(ax + by + \dfrac{{c + d}}{2} = 0\).
Áp dụng: Cho hai đường thẳng song song có phương trình \(-3x+4y-10=0\) và \(-3x+4y+1=0\). Hãy lập phương trình đường thẳng song song và cách đều hai đường thẳng trên.
a) Lấy \(M(x_0 ; y_0)\) thuộc \({\Delta _1}\), suy ra \(a{x_0} + b{y_0} + c = 0\). Kí hiệu \(d({\Delta _1} ; {\Delta _2})\)là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\). Khi đó ta có:
\(d({\Delta _1} ; {\Delta _2}) = d( M ; {\Delta _2})\)
\(= \dfrac{{|a{x_0} + b{y_0} + c|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{|c – d|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
b) Phương trình đường thẳng \({\Delta _3}\) song song với \({\Delta _1}\) và \({\Delta _3}\) có dạng
\(ax + by + e = 0 (e \ne c, e \ne d)\).
Áp dụng câu a), ta có
Advertisements (Quảng cáo)
\(d({\Delta _1} ; {\Delta _3}) = \dfrac{{|c – e|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} ;\)
\( d({\Delta _2} ; {\Delta _3}) = \dfrac{{|d – e|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
\({\Delta _3}\) cách đều hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi
\(d({\Delta _1} ; {\Delta _3}) = d({\Delta _2} ; {\Delta _3})\)
\( \Leftrightarrow |c – e| = |d – e| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = d\\e = \dfrac{{c + d}}{2}\end{array} \right.\)
Trường hợp c=d loại vì \({\Delta _1} \ne {\Delta _2}\).
Vậy phương trình của \({\Delta _3}\) là \(ax + by + \dfrac{{c + d}}{2} = 0\).
Áp dụng: Đường thẳng song song và cách đều ha đường thẳng đã cho có phương trình:
\( – 3x + 4y + \dfrac{{ – 10 + 1}}{2} = 0\) hay \( – 3x + 4y – \dfrac{9}{2} = 0\).