Advertisements (Quảng cáo)
Cho phương trình: kx2 – 2(k + l)x + k + 1 = 0.
a) Tìm k để phương trình trên có ít nhất một nghiệm dương.
b) Tìm các giá trị của k để phương trình trên có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1
(Hướng dẫn: đặt x= y + 1).
a) Với k = 0 ta có: -2x + 1 = 0 \( \Leftrightarrow x = {1 \over 2}\) (nhận)
Với k ≠ 0, ta có: Δ’ = (k + 1)2 – k(k + 1) = k + 1
Phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi P < 0 hoặc phương trình có hai nghiệm dương hoặc phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương.
+ Trường hợp 1: P < 0 ⇔ k(k + 1) < 0 ⇔ -1 < k < 0
+ Trường hợp 2:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\left\{ \matrix{
\Delta \ge 0 \hfill \cr
S > 0 \hfill \cr
P > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
k + 1 \ge 0 \hfill \cr
{{2(k + 1)} \over k} > 0 \Leftrightarrow k > 0 \hfill \cr
{{k + 1} \over k} > 0 \hfill \cr} \right.\)
+ Trường hợp 3: x = 0 là nghiệm ⇒ k = -1
Khi đó, phương trình trở thành –x2 = 0 ⇔ x = 0
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi k > -1
b) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn:
\(\eqalign{
&{x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} – 1 < 0 < {x_2} – 1 \cr
& \Leftrightarrow ({x_1} – 1)({x_2} – 1) < 0 \cr&\Leftrightarrow {x_1}{x_2} – ({x_1} + {x_2}) + 1 < 0 \cr
& \Leftrightarrow {{k + 1} \over k} – {{2(k + 1)} \over k} + 1 < 0\cr& \Leftrightarrow {{k + 1 – 2k – 2 + k} \over k} < 0 \cr
& \Leftrightarrow {{ – 1} \over k} < 0 \Leftrightarrow k > 0 \cr} \)
Ta thấy rằng k > 0 thỏa mãn \(Δ = k + 1 > 0\)
Vậy giá trị k cần tìm là k > 0