Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và A'B'C' có chung đỉnh A.. Bài 4 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao - Ôn tập chương II - Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và A’B’C’ có chung đỉnh A. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BB’ và CC’. Chứng minh rằng
a) AI⊥CC′AJ⊥BB′;
b) BC′⊥B′C.
Ta có →AI=12(→AB+→AB′);→AJ=12(→AC+→AC′)
⇒→AI.→CC′=12(→AB+→AB′).(→AC′−→AC)=12(→AB.→AC′−→AB.→AC+→AB′.→AC′−→AB′.→AC)
Vì AB⊥ACAB′⊥AC′ nên →AB.→AC=→AB′.→AC′=0
Mặt khác
→AB.→AC′=AB.AC′.cos^BAC′→AB′.→AC=AB′.AC.cos^B′AC⇒→AB.→AC′=→AB′.→AC⇒→AI.→CC′=0⇒AI⊥CC′
Advertisements (Quảng cáo)
Tương tự →AJ.→BB′=12(→AC+→AC′).(→AB′−→AB)
=12(→AC.→AB′−→AC.→AB+→AC′.→AB′−→AC′.→AB)=0⇒AJ⊥BB′
b) Ta có
→BC′.→B′C=(→AC′−→AB).(→AC−→AB′)=→AC′.→AC−→AC′.→AB′−→AB.→AC+→AB.→AB′
→AB.→AB′=AB.AB′.cos^BAB′
→AC.→AC′=AC.AC′.cos(1800−^BAB′)
=−→AB.→AB′.
Do đó: →BC′.→B′C=→0
Vậy BC′⊥B′C.