Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 Nâng cao Bài 4 trang 70 Hình học 10 Nâng cao: Trên hình 63...

Bài 4 trang 70 Hình học 10 Nâng cao: Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và A'B'C' có chung đỉnh A....

Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và A'B'C' có chung đỉnh A.. Bài 4 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao – Ôn tập chương II – Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và A’B’C’ có chung đỉnh A. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BB’ và CC’. Chứng minh rằng

a) \(AI \bot C{C’}\,\,AJ \bot B{B’}\,\);

b) \(B{C’}\,\, \bot {B’}C\,\,\).

Ta có \(\overrightarrow {AI}  = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {A{B’}} )\,\,;\,\,\overrightarrow {AJ}  = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {A{C’}} )\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AI} .\,\overrightarrow {C{C’}} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{B’}} ).\,(\overrightarrow {A{C’}} – \overrightarrow {AC} ) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C’}} – \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{B’}} .\,\overrightarrow {A{C’}} – \overrightarrow {A{B’}} .\,\overrightarrow {AC} ) \cr} \)

Vì \(AB \bot AC\,\,\,A{B’} \bot A{C’}\,\) nên \(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {A{B’}} .\,\overrightarrow {A{C’}}  = 0\)

Quảng cáo

Mặt khác

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C’}} = AB.\,A{C’}.\cos \widehat {BA{C’}} \cr
& \overrightarrow {A{B’}} .\,\overrightarrow {AC} = A{B’}.\,AC.\cos \widehat {{B’}AC} \cr
& \Rightarrow \,\,\,\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{C’}} = \overrightarrow {A{B’}} .\,\overrightarrow {AC} \,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AI} .\,\overrightarrow {C{C’}} = 0\,\, \Rightarrow \,\,AI \bot C{C’} \cr} \)

Tương tự \(\overrightarrow {AJ} .\,\overrightarrow {B{B’}}  = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {A{C’}} ).\,(\overrightarrow {A{B’}}  – \overrightarrow {AB} )\)

\(\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}(\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {A{B’}} – \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{C’}} .\,\overrightarrow {A{B’}} – \overrightarrow {A{C’}} .\,\overrightarrow {AB} ) =0\cr
& \Rightarrow \,\,AJ \bot B{B’} \cr} \)

b) Ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {B{C’}} .\,\overrightarrow {{B’}C} = (\overrightarrow {A{C’}} – \overrightarrow {AB} ).\,(\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {A{B’}} ) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {A{C’}} .\,\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {A{C’}} .\,\overrightarrow {A{B’}} – \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B’}} \cr} \)

 \(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B’}}  = AB.A{B’}.\cos \widehat {BA{B’}}\)

\(\overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {A{C’}}  = AC.A{C’}.\cos ({180^0} – \widehat {BA{B’}}) \)

                    \(=  – \overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {A{B’}}.\)

Do đó: \(\overrightarrow {B{C’}} .\,\overrightarrow {{B’}C} =\overrightarrow 0\)

Vậy \(B{C’} \bot {B’}C\).

Quảng cáo