Bài 30 trang 66 Hình học 10 Nâng cao: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD....

Bài 30. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BD$. Chứng minh rằng $A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2}$.

Áp dụng công thức tính trung tuyến, $MN$ là trung tuyến của tam giác $BMD$, ta có

$M{N^2} = {{B{M^2} + D{M^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,4M{N^2} = 2(B{M^2} + D{M^2}) - B{D^2}\,\,\,(1)$

Tương tự, $BM, DM$ lần lượt là trung tuyến của tam giác $ABC, ADC$ nên

$\eqalign{ & 4B{M^2} = 2(A{B^2} + B{C^2}) - A{C^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr & 4D{M^2} = 2(D{A^2} + C{D^2}) - A{C^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \cr}$

Từ (2), (3) suy ra

$2(B{M^2} + D{M^2}) = A{B^2}\, + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} - A{C^2}\,\,(4)$

Thay (4) vào (1), ta có

$\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\,\,4M{N^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} - A{C^2} - B{D^2} \cr & \Rightarrow \,\,\,A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2} \cr}$