Bài 76 trang 50 SBT Hình 10 nâng cao: (h.68)....

Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba trung tuyến bằng $15, 18, 27.$

a) Tính diện tích của tam giác.

b) Tính độ dài các cạnh của tam giác.

Giải

a) (h.68).

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì

$\dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{GBC}}}} = \dfrac{{AI}}{{GI}} = 3$

Vậy $S = 3{S_{GBC}}$.

Lấ điểm $D$ là điểm đối xứng với $G$ qua $I$ ta được hình bình hành $BGCD$, do đó

${S_{GBC}} = {S_{BGD}} = \dfrac{1}{2}{S_{BGCD}}$.

Vậy ${S_{ABC}} = 3{S_{BGD}}$.

Tam giác $BGD$ có độ dài ba cạnh bằng $10, 12, 18$ nên

${S_{BGD}}$ $= \sqrt {20.(20 - 10)(20 - 12)(20 - 18)}$$= \sqrt {20.10.8.2}  = 40\sqrt 2$.

Vậy $S = 3.40\sqrt 2  = 120\sqrt 2$.

b) Giả sử ${m_a} = 15, {m_b} = 18 ,  {m_c} = 27$. Ta có

$\left\{ \begin{array}{l}{b^2} + {c^2} = 2{m_a}^2 + \dfrac{{{a^2}}}{2}\\{c^2} + {a^2} = 2m_b^2 + \dfrac{{{b^2}}}{2}\\{a^2} + {b^2} = 2m_c^2 + \dfrac{{{c^2}}}{2}\end{array} \right. \\  \Rightarrow   {a^2} + {b^2} + {c^2} \\= \dfrac{4}{3}.\left( {m_a^2 + m_b^2 + m_c^2} \right) = 1704.$

Ta lại có

$\begin{array}{l}{b^2} - {a^2} = \dfrac{4}{3}\left( {m_a^2 - m_b^2} \right) =  - 132 ;  \\{b^2} - {c^2} = \dfrac{4}{3}\left( {m_c^2 - m_b^2} \right) = 540.\end{array}$

Từ đó ta tính được $b = 8\sqrt {11}  ;  a = 2\sqrt {209}  ; c = 2\sqrt {41}  .$