Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 Nâng cao Bài 32 trang 66 Hình học 10 Nâng cao: Chứng minh rằng...

Bài 32 trang 66 Hình học 10 Nâng cao: Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai...

Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó.. Bài 32 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao – Bài 3. Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 32. Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó.

Quảng cáo

Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC, BD\) và \(\widehat {AIB} = \alpha \).

Ta có \({S_{ABI}} = {1 \over 2}AI.BI.\sin \alpha \,\,\,\,\,{S_{ADI}} = {1 \over 2}AI.DI.\sin ({180^0} – \alpha ) = \,{1 \over 2}AI.DI.\sin \alpha \,\)

Suy ra \({S_{ABD}} = {S_{ABI}} + {S_{ADI}} = {1 \over 2}AI.(BI + DI).\sin \alpha  = {1 \over 2}AI.BD.\sin \alpha \)

Tương tự ta suy ra \({S_{BCD}} = {S_{BIC}} + {S_{CDI}} = {1 \over 2}CI.BD.\sin \alpha \)

Từ đó suy ra

\({S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{BCD}} = {1 \over 2}.BD.(AI + CI).\sin \alpha  = {1 \over 2}.BD.AC.\sin \alpha. \)

Quảng cáo