Bài 32 trang 66 Hình học 10 Nâng cao: Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó....

Bài 32. Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó.

Gọi $I$ là giao điểm của hai đường chéo $AC, BD$ và $\widehat {AIB} = \alpha$.

Ta có ${S_{ABI}} = {1 \over 2}AI.BI.\sin \alpha \,\,\,\,\,{S_{ADI}} = {1 \over 2}AI.DI.\sin ({180^0} - \alpha ) = \,{1 \over 2}AI.DI.\sin \alpha \,$

Suy ra ${S_{ABD}} = {S_{ABI}} + {S_{ADI}} = {1 \over 2}AI.(BI + DI).\sin \alpha  = {1 \over 2}AI.BD.\sin \alpha$

Tương tự ta suy ra ${S_{BCD}} = {S_{BIC}} + {S_{CDI}} = {1 \over 2}CI.BD.\sin \alpha$

Từ đó suy ra

${S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{BCD}} = {1 \over 2}.BD.(AI + CI).\sin \alpha  = {1 \over 2}.BD.AC.\sin \alpha.$