Giải và biện luận các hệ phương trình
a)
\(\left\{ \matrix{
x - my = 0 \hfill \cr
mx - y = m + 1 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
2ax + 3y = 5 \hfill \cr
(a + 1)x + y = 0 \hfill \cr} \right.\)
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& D = \left|\matrix{1 \;\;\;\;{ - m} \cr m \;\;\;\; { - 1} \cr} \right| \,\, = {m^2} - 1 \cr& {D_x} = \, \left|\matrix{0 \;\;\;\;\;\;\;{ - m} \cr {m + 1} \;\;\;\;\;{ - 1} \cr} \right| \, = m(m + 1) \cr & {D_y} = \,\left|\matrix{1 \;\;\;\;\;\;\; 0 \cr m \;\;\;\;\;\;\; {m + 1} \cr} \right| \, = m + 1 \cr} \)
+ Với D ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 1 thì hệ có nghiệm duy nhất:
\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{m(m + 1)} \over {{m^2} - 1}} = {m \over {m - 1}} \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = {{m + 1} \over {{m^2} - 1}} = {1 \over {m - 1}} \hfill \cr} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
+ Với D = 0 ⇔ m = ± 1
i) m = 1, ta có Dx = 2 ≠ 0: Hệ phương trình vô nghiệm
ii) m = -1. Hệ trở thành:
\(\left\{ \matrix{
x + y = 0 \hfill \cr
- x - y = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = - x\)
Hệ vô số nghiệm (x, -x) với x ∈ R
b) Ta có:
\(\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
{2a} \;\;\;\; \;\;3 \cr
{a + 1} \;\;\;\; 1 \cr}\right|\, = 2a - 3(a + 1) = - (a + 3) \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{5 & 3 \cr 0 & 1 \cr}\right| = 5 \cr & {D_y} = \left|\matrix{{2a} \;\;\; \;\;5 \cr {a + 1} \;\;\; 0 \cr}\right|= - 5(a + 1) \cr} \)
+ Nếu a ≠ -3 thì hệ có nghiệm duy nhất:
\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{ - 5} \over {a + 3}} \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = {{5(a + 1)} \over {a + 3}} \hfill \cr} \right.\)
+ Nếu a = -3 thì hệ vô nghiệm (do D = 0)