Bài 38 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao, Chứng minh rằng:...

Cho đường tròn (C) tâm ${F_1}$ , bán kính R và một điểm ${F_2}$  ở ngoài (C). Chứng minh rằng tập hợp tâm các đường tròn đi qua ${F_2}$ , tiếp xúc với (C) là một đường hypebol. Viết phương trình chính tắc của hypebol đó.

Gọi M là tâm đường tròn đi qua ${F_2}$ và tiếp xúc với (C)

Ta có: $|M{F_1} - M{F_2}| = R = 2a$

Vậy tập hợp các điểm M là đường hypebol (H) có $a = {R \over 2},c = {{{F_1}{F_2}} \over 2}$

$\Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = {{{F_1}{F_2}^2 - {R^2}} \over 4}$ 

Phương trình chính tắc của (H) là:

${{{x^2}} \over {{{\left( {{R \over 2}} \right)}^2}}} - {{{y^2}} \over {{{\left( {{{\sqrt {{F_1}{F_2}^2 - {R^2}} } \over 2}} \right)}^2}}} = 1.$