Bài 40 trang 127 SGK Đại số 10 nâng cao, Giải bất phương trình và bất phương trình...

Giải bất phương trình và bất phương trình

a) |x + 1| + |x – 1| = 4

b) ${{|2x - 1|} \over {(x + 1)(x - 2)}} > {1 \over 2}$

a) Ta có bảng xét dấu:  

i) Với $x < -1$, ta có (1) $⇔ - x – 1 – x + 1 = 4 ⇔ x = -2$ (nhận)

ii) Với $-1 ≤ x ≤  1$, ta có: (1) $⇔ x + 1 – x + 1 = 4 ⇔ 2 = 4$ (vô nghiệm)

iii) Với $x > 1$, ta có (1) $⇔ x + 1 + x – 1 = 4 ⇔ x = 2$ (nhận)

Vậy S = {-2, 2}

b) Ta có:

i) Nếu $x \le {1 \over 2}$ thì bất phương trình trở thành: ${{ - 2x + 1} \over {(x + 1)(x - 2)}} > {1 \over 2}$

Ta có:

$\eqalign{ & {{ - 2x + 1} \over {(x + 1)(x - 2)}} > {1 \over 2}\cr& \Leftrightarrow {{2( - 2x + 1) - (x + 1)(x - 2)} \over {2(x + 1)(x - 2)}} > 0 \cr & \Leftrightarrow {{ - {x^2} - 3x + 4} \over {2(x + 1)(x - 2)}} > 0 \Leftrightarrow {{(x - 1)(x + 4)} \over {2(x + 1)(x - 2)}} < 0 \cr}$

Lập bảng xét dấu:

Trường hợp này ta có: $-4 < x < -1$

ii) Nếu $x > {1 \over 2}$ thì bất phương trình đã cho trở thành: ${{2x - 1} \over {(x + 1)(x - 2)}} > {1 \over 2}$

Ta có:

$\eqalign{ & {{2x - 1} \over {(x + 1)(x - 2)}} > {1 \over 2} \cr&\Leftrightarrow {{2(2x - 1) - (x + 1)(x - 2)} \over {2(x + 1)(x - 2)}} > 0 \cr & \Leftrightarrow {{x(x - 5)} \over {2(x + 1)(x - 2)}} < 0 \cr}$

Lập bảng xét dấu trên nửa khoảng $({1 \over 2}, + \infty )$

Trong trường hợp này ta có: $2 < x < 5$

Vậy $S = (-4, -1)  ∪ (2, 5)$