Chứng minh rằng:
a) \(\sin {{11\pi } \over {12}}\cos {{5\pi } \over {12}} = {1 \over 4}(2 - \sqrt 3 )\)
b) \(\cos {\pi \over 7}\cos {{3\pi } \over 7}\cos {{5\pi } \over 7} = - {1 \over 8}\)
c) \(\sin {6^0}\sin {42^0}\sin {66^0}\sin {78^0} = {1 \over 6}\) (Hướng dẫn: Nhân hai vế với cos 60)
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& \sin {{11\pi } \over {12}}\cos {{5\pi } \over {12}} = \sin (\pi - {\pi \over {12}})cos({\pi \over 2} - {\pi \over {12}}) \cr
& = {\sin ^2}{\pi \over {12}} = {1 \over 2}(1 - \cos {\pi \over 6}) = {1 \over 2}(1 - {{\sqrt 3 } \over 2})\cr& = {1 \over 4}(2 - \sqrt 3 ) \cr} \)
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b) Ta có:
\(\eqalign{
& \cos {{3\pi } \over 7} = \cos (\pi - {{4\pi } \over 7}) = - \cos {{4\pi } \over 7} \cr
& \cos {{5\pi } \over 7} = \cos (\pi - {{2\pi } \over 7}) = - \cos {{2\pi } \over 7} \cr} \)
Nên:
\(\eqalign{
& \cos {\pi \over 7}\cos {{3\pi } \over 7}\cos {{5\pi } \over 7} = \cos {\pi \over 7}\cos {{2\pi } \over 7}\cos {{4\pi } \over 7} \cr
& = {1 \over {\sin {\pi \over 7}}}(\sin {\pi \over 7}\cos {\pi \over 7})\cos {{2\pi } \over 7}\cos {{4\pi } \over 7}\cr& = {1 \over {\sin {\pi \over 7}}}.{1 \over 2}(\sin {{2\pi } \over 7}\cos {{2\pi } \over 7}).cos{{4\pi } \over 7} \cr
& = {1 \over {\sin {\pi \over 7}}}.{1 \over 4}\sin {{4\pi } \over 7}.cos{{4\pi } \over 7} = {1 \over {8\sin {\pi \over 7}}}.\sin {{8\pi } \over 7} \cr
& = {{ - \sin {\pi \over 7}} \over {8\sin {\pi \over 7}}} = - {1 \over 8} \cr} \)
c) Ta có:
\(\eqalign{
& \sin {6^0}\sin {42^0}\sin {66^0}\sin {78^0} \cr&= \sin {6^0}\cos {48^0}\cos {24^0}\cos {12^0} \cr
& = {1 \over {\cos {6^0}}}(\sin {6^0}\cos {6^0})cos{12^0}\cos {24^0}\cos {48^0} \cr
& ={1 \over {\cos {6^0}}}\left( {{1 \over 2}\sin {{12}^0}\cos {{12}^0}} \right)cos{24^0}.cos{48^0}\cr&={1 \over {\cos {6^0}}}.{1 \over 4}\sin{24^0}\cos{24^0}.\cos{48^0}\cr&= {1 \over {\cos {6^0}}}.{1 \over 8}\sin {48^0}\cos {48^0} \cr
& = {1 \over {\cos {6^0}}}.{1 \over {16}}.\sin {96^0} = {{\cos {6^0}} \over {16\cos {6^0}}} = {1 \over {16}} \cr} \)