Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 Nâng cao (sách cũ) Bài 43 trang 214 Đại số 10 Nâng cao: Dùng công thức...

Bài 43 trang 214 Đại số 10 Nâng cao: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:...

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:. Bài 43 trang 214 SGK Đại số 10 Nâng cao - Bài 4: Một số công thức lượng giác

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:

a) \(\cos {75^0}\cos {15^0} = \sin {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 4}\)

b) \(\cos {75^0}\sin {15^0} = {{2 - \sqrt 3 } \over 4}\)

c) \(\sin {75^0}\cos {15^0} = {{2 + \sqrt 3 } \over 4}\)

d) \(\cos \alpha \sin (\beta  - \gamma ) + \cos \beta \sin (\gamma  - \alpha ) \)

\(+ \cos \gamma \sin (\alpha  - \beta ) = 0\,\,\,\,\,\forall \alpha ,\beta ,\gamma \)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos {75^0}\cos {15^0} = {1 \over 2}(\cos {90^0} + \cos {60^0}) = {1 \over 4} \cr
& \sin {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 2}(cos{60^0} - \cos {90^0}) = {1 \over 4} \cr} \)

Vậy \(\cos {75^0}\cos {15^0} = \sin {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 4}\)

Advertisements (Quảng cáo)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 2}(\sin {90^0} - \sin {60^0}) \cr
& = {1 \over 2}(1 - {{\sqrt 3 } \over 2}) = {{2 - \sqrt 3 } \over 4} \cr} \) 

c) Ta có:

\(\eqalign{
& \sin {75^0}\cos {15^0} = {1 \over 2}(\sin {90^0} + \sin {60^0}) \cr
& = {1 \over 2}(1 + {{\sqrt 3 } \over 2}) = {{2 + \sqrt 3 } \over 4} \cr} \)

d) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos \alpha \sin (\beta - \gamma )\cr& = {1 \over 2}{\rm{[sin(}}\alpha {\rm{ + }}\beta - \gamma {\rm{)}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{sin(}}\alpha {\rm{ - }}\beta {\rm{ + }}\gamma {\rm{)]}} \cr
& \cos \beta \sin (\gamma - \alpha ) \cr&= {1 \over 2}{\rm{[}}\sin (\beta + \gamma - \alpha {\rm{)}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{sin(}}\beta - \gamma + \alpha ){\rm{]}} \cr
& \cos \gamma \sin (\alpha - \beta ) \cr&= {1 \over 2}{\rm{[sin(}}\gamma {\rm{ + }}\alpha {\rm{ - }}\beta {\rm{)}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{sin(}}\gamma {\rm{ - }}\alpha {\rm{ + }}\beta {\rm{)]}} \cr} \)

Cộng các vế của ba đẳng thức, ta có:

\(\cos \alpha \sin (\beta  - \gamma ) + \cos \beta \sin (\gamma  - \alpha ) \)

\(+ \cos \gamma \sin (\alpha  - \beta ) = 0\,\,\,\,\,\forall \alpha ,\beta ,\gamma \)

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 10 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)