Bài 43 trang 214 Đại số 10 Nâng cao: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:...

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:

a) $\cos {75^0}\cos {15^0} = \sin {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 4}$

b) $\cos {75^0}\sin {15^0} = {{2 - \sqrt 3 } \over 4}$

c) $\sin {75^0}\cos {15^0} = {{2 + \sqrt 3 } \over 4}$

d) $\cos \alpha \sin (\beta  - \gamma ) + \cos \beta \sin (\gamma  - \alpha )$

$+ \cos \gamma \sin (\alpha  - \beta ) = 0\,\,\,\,\,\forall \alpha ,\beta ,\gamma$

Đáp án

a) Ta có:

$\eqalign{ & \cos {75^0}\cos {15^0} = {1 \over 2}(\cos {90^0} + \cos {60^0}) = {1 \over 4} \cr & \sin {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 2}(cos{60^0} - \cos {90^0}) = {1 \over 4} \cr}$

Vậy $\cos {75^0}\cos {15^0} = \sin {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 4}$

b) Ta có:

$\eqalign{ & \cos {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 2}(\sin {90^0} - \sin {60^0}) \cr & = {1 \over 2}(1 - {{\sqrt 3 } \over 2}) = {{2 - \sqrt 3 } \over 4} \cr}$ 

c) Ta có:

$\eqalign{ & \sin {75^0}\cos {15^0} = {1 \over 2}(\sin {90^0} + \sin {60^0}) \cr & = {1 \over 2}(1 + {{\sqrt 3 } \over 2}) = {{2 + \sqrt 3 } \over 4} \cr}$

d) Ta có:

$\eqalign{ & \cos \alpha \sin (\beta - \gamma )\cr& = {1 \over 2}{\rm{[sin(}}\alpha {\rm{ + }}\beta - \gamma {\rm{)}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{sin(}}\alpha {\rm{ - }}\beta {\rm{ + }}\gamma {\rm{)]}} \cr & \cos \beta \sin (\gamma - \alpha ) \cr&= {1 \over 2}{\rm{[}}\sin (\beta + \gamma - \alpha {\rm{)}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{sin(}}\beta - \gamma + \alpha ){\rm{]}} \cr & \cos \gamma \sin (\alpha - \beta ) \cr&= {1 \over 2}{\rm{[sin(}}\gamma {\rm{ + }}\alpha {\rm{ - }}\beta {\rm{)}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{sin(}}\gamma {\rm{ - }}\alpha {\rm{ + }}\beta {\rm{)]}} \cr}$

Cộng các vế của ba đẳng thức, ta có:

$\cos \alpha \sin (\beta  - \gamma ) + \cos \beta \sin (\gamma  - \alpha )$

$+ \cos \gamma \sin (\alpha  - \beta ) = 0\,\,\,\,\,\forall \alpha ,\beta ,\gamma$