Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 Nâng cao Bài 46 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao, Giải các...

Bài 46 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao, Giải các hệ phương trình...

Giải các hệ phương trình. Bài 46 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao – Bài 5: Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn

Giải các hệ phương trình

a)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + x + y = 8 \hfill \cr
xy + x + y = 5 \hfill \cr} \right.\)

b)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} – x + y = 2 \hfill \cr
xy + x – y = – 1 \hfill \cr} \right.\)

c)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} – 3x = 2y \hfill \cr
{y^2} – 3y = 2x \hfill \cr} \right.\)

a) Đặt S = x + y; P = xy, ta có hệ:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
S + P = 5 \hfill \cr
{S^2} – 2P + S = 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 5 – S \hfill \cr
{S^2} – 2(5 – S) + S = 8 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 5 – S \hfill \cr
{S^2} – 3S – 18 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 3 \hfill \cr
P = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = – 6 \hfill \cr
P = 11 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \)

i) Với S = 3, P = 2 thì x, y là nghiệm của phương trình:

\({x^2} – 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\)

Ta có nghiệm (1, 2); (2, 1)

ii) Với S = -6, P = 11 thì hệ phương trình vô nghiệm vì:

S2 – 4P = 36 – 44 = -8 < 0

Vậy phương trình có hai nghiệm (1, 2); (2, 1)

b) Đặt x’ = -x, ta có hệ:

Quảng cáo

\(\left\{ \matrix{
x{‘^2} + {y^2} + x’ + y = 2 \hfill \cr
– x’y – x’ – y = – 1 \hfill \cr} \right.\)

Đặt S = x’ + y;  P = x’y, ta có:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{S^2} – 2P + S = 2 \hfill \cr
S + P = 1 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} + S – 2(1 – S) = 2 \hfill \cr
P = 1 – S \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} + 3S – 4 = 0 \hfill \cr
P = 1 – S \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 1 \hfill \cr
P = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = – 4 \hfill \cr
P = 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \) 

+) Nếu S =1, P = 0 thì x’, y là nghiệm phương trình:

\({X^2} – X = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 0 \hfill \cr
X = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x’ = 0 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x’ = 1 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\) 

Ta có nghiệm (0, 1) và (-1, 0)

+) Với S = -4, P = 5 thì hệ phương trình vô nghiệm vì S2 – 4P < 0

c) Trừ từng vế của hai phương trình ta được:

x2 – y2 – 3x + 3y = 2y – 2x

⇔ (x – y)(x + y) – (x – y) = 0

⇔ (x – y)(x + y – 1) = 0

⇔ x – y = 0 hoặc x + y – 1 = 0

Vậy hệ đã cho tương ứng với:

\(\left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
{x^2} – 3x = 2y \hfill \cr
x – y = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I) \hfill \cr
\left\{ \matrix{
{x^2} – 3x = 2y \hfill \cr
x + y – 1 = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(II) \hfill \cr} \right.\)

Ta có:

\((I)\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 3x = 2y \hfill \cr
x – y = 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x(x – 5) = 0 \hfill \cr
x = y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = y = 0 \hfill \cr
x = y = 5 \hfill \cr} \right.\)

\((II) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 3x = 2(1 – x) \hfill \cr
y = 1 – x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – x – 2 = 0 \hfill \cr
y = 1 – x \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = – 1 \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = – 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là : \((0, 0); (5, 5); (-1, 2); (2, -1)\)

Quảng cáo