Bài 5 trang 80 Hình học 10 Nâng cao: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua điểm M...

Cho đường thẳng d có phương trình x - y = 0 và điểm M(2, 1)

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua điểm M.

b) Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d.

a) Đường thẳng d qua O(0, 0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {1; - 1} \right)$ . Gọi $N\left( {{x_N};{y_N}} \right)$ là điểm đối xứng của O qua M thì M là trung điểm của ON, ta có:

$\left\{ \matrix{ {x_M} = {{{x_O} + {x_N}} \over 2} \hfill \cr {y_M} = {{{y_O} + {y_N}} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_N} = 2{x_M} - {x_O} = 4 \hfill \cr {y_N} = 2{y_M} - {y_O} = 2 \hfill \cr} \right.$

Vậy N(4, 2)

Đường thẳng đối xứng với d qua M là đường thẳng đi qua N(4, 2) và song song với d nên có phương trình tổng quát là:

$1.\left( {x - 4} \right) - 1.\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 2 = 0.$

b) Gọi d’ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với d thì d’ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow m  = \left( {1;1} \right)$ do đó d’ có phương trình tổng quát là:

$1.\left( {x - 2} \right) + 1.\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0$

Hình chiếu M’ của M trên d có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{ x - y = 0 \hfill \cr x + y - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {3 \over 2} \hfill \cr y = {3 \over 2} \hfill \cr} \right.$

Vậy $M’\left( {{3 \over 2};{3 \over 2}} \right)$