Bài 4 trang 80 Hình học 10 Nâng cao: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm (A(3;2)) và song song với đường thẳng PQ...

Cho hai điểm $P(4;0),Q(0; - 2)$ .

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm $A(3;2)$ và song song với đường thẳng PQ;

b) Viết phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn thẳng PQ.

Giải

a) Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua điểm  $A(3;2)$ và song song với đường thẳng PQ

$\overrightarrow {PQ} \left( { - 4; - 2} \right)$

Gọi $\overrightarrow n$ là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng PQ do đó: $\overrightarrow n .\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow 0$

Ta chọn $\overrightarrow n (1; - 2)$

$\Delta$ song song với đường thẳng PQ nên véc tơ pháp tuyến của đường thẳng PQ cũng là véc tơ pháp tuyến của $\Delta$

Phương trình tổng quát của $\Delta$ đi qua A(3, 2)  và có véc tơ pháp tuyến  $\overrightarrow n (1; - 2)$  là:

$1.(x - 3) - 2(y - 2) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 1 = 0$

b) Gọi $I({x_I};{y_I})$ là trung điểm của PQ

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ sau:

$\left\{ \matrix{ {x_I} = {{{x_P} + {x_Q}} \over 2} \hfill \cr {y_I} = {{{y_P} + {y_Q}} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_I} = {{4 + 0} \over 2} \hfill \cr {y_I} = {{0 + ( - 2)} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_I} = 2 \hfill \cr {y_I} = - 1 \hfill \cr} \right.$

Vậy $I(2; - 1)$

Gọi d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng PQ

Vì d là đường thẳng trung trực của PQ nên d đi qua trung điểm I của đoạn thẳng PQ và vuông góc với PQ

Phương trình đường thẳng d đi qua I(-2, 1) và nhận $\overrightarrow {PQ} \left( { - 4; - 2} \right)$ làm véc tơ pháp tuyến là:

$- 4.(x - 2) - 2.(y + 1) = 0 \Leftrightarrow  - 4x - 2y + 6 = 0$

$\Leftrightarrow 2x + y - 3 = 0$

.