Cho hai điểm \(P(4;0),Q(0; - 2)\) .
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A(3;2)\) và song song với đường thẳng PQ;
b) Viết phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn thẳng PQ.
Giải
a) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm \(A(3;2)\) và song song với đường thẳng PQ
\(\overrightarrow {PQ} \left( { - 4; - 2} \right)\)
Gọi \(\overrightarrow n \) là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng PQ do đó: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow 0 \)
Ta chọn \(\overrightarrow n (1; - 2)\)
\(\Delta \) song song với đường thẳng PQ nên véc tơ pháp tuyến của đường thẳng PQ cũng là véc tơ pháp tuyến của \(\Delta \)
Phương trình tổng quát của \(\Delta \) đi qua A(3, 2) và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n (1; - 2)\) là:
\(1.(x - 3) - 2(y - 2) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 1 = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Gọi \(I({x_I};{y_I})\) là trung điểm của PQ
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \matrix{
{x_I} = {{{x_P} + {x_Q}} \over 2} \hfill \cr
{y_I} = {{{y_P} + {y_Q}} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_I} = {{4 + 0} \over 2} \hfill \cr
{y_I} = {{0 + ( - 2)} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_I} = 2 \hfill \cr
{y_I} = - 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(I(2; - 1)\)
Gọi d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng PQ
Vì d là đường thẳng trung trực của PQ nên d đi qua trung điểm I của đoạn thẳng PQ và vuông góc với PQ
Phương trình đường thẳng d đi qua I(-2, 1) và nhận \(\overrightarrow {PQ} \left( { - 4; - 2} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến là:
\( - 4.(x - 2) - 2.(y + 1) = 0 \Leftrightarrow - 4x - 2y + 6 = 0\)
\(\Leftrightarrow 2x + y - 3 = 0\)
.