Bài 11 trang 101 SBT Hình học 10 Nâng cao: (h.95)....

Cho điểm $M(a; b)$ với $a > 0, b > 0$. Viết phương trình đường thẳng qua $M$ và cắt các tia $Ox, Oy$ lần lượt tại $A, B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích nhỏ nhất.

(h.95).

Gọi $A(x_0 ; 0), B(0 ; y_0).$

Khi đó, $x_0 > 0, y_0 > 0$. Phương trình đường thẳng AB là $\dfrac{x}{{{x_0}}} +  \dfrac{y}{{{y_0}}} = 1$.

$\begin{array}{l}M \in AB   \Rightarrow    \dfrac{a}{{{x_0}}} +  \dfrac{b}{{{y_0}}} = 1.\\{S_{OAB}} =  \dfrac{1}{2}.OA.OB =  \dfrac{1}{2}{x_0}.{y_0}.\end{array}$

Ta có

$1 =  \dfrac{a}{{{x_0}}} +  \dfrac{b}{{{y_0}}} \ge 2\sqrt { \dfrac{{ab}}{{{x_0}{y_0}}}}$

$\Rightarrow {x_0}{y_0} \ge 4ab$.

Do đó ${S_{OAB}} =  \dfrac{1}{2}{x_0}{y_0} \ge  \dfrac{1}{2}.4ab = 2ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a}{{{x_0}}} =  \dfrac{b}{{{y_0}}} =  \dfrac{1}{2}$ hay $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 2a\\{y_0} = 2b\end{array} \right.$.

Vậy diện tích tam giác $OAB$ nhỏ nhất bằng 2ab khi $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 2a\\{y_0} = 2b\end{array} \right.$. Phương trình đường thẳng cần tìm là $\dfrac{x}{{2a}} +  \dfrac{y}{{2b}} = 1$.